Theorem hhcau 31129

Description: The Cauchy sequences of Hilbert space. (Contributed by NM, 19-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhlm.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhlm.2	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hhcau	⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Proof of Theorem hhcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhlm.1	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
2	1	hhnv 31096	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3	1	hhba 31098	. 2 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
4		hhlm.2	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	h2hcau 30910	1 ⊢ Cauchy = ((Cau‘𝐷) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∩ cin 3898  ⟨cop 4579  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ↑_m cmap 8744  ℕcn 12116  Cauccau 25134  IndMetcims 30522   ℋchba 30850   +_ℎ cva 30851   ·_ℎ csm 30852  norm_ℎcno 30854  Cauchyccauold 30857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076  ax-mulf 11077  ax-hilex 30930  ax-hfvadd 30931  ax-hvcom 30932  ax-hvass 30933  ax-hv0cl 30934  ax-hvaddid 30935  ax-hfvmul 30936  ax-hvmulid 30937  ax-hvmulass 30938  ax-hvdistr1 30939  ax-hvdistr2 30940  ax-hvmul0 30941  ax-hfi 31010  ax-his1 31013  ax-his2 31014  ax-his3 31015  ax-his4 31016

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-cau 25137  df-grpo 30424  df-gid 30425  df-ginv 30426  df-gdiv 30427  df-ablo 30476  df-vc 30490  df-nv 30523  df-va 30526  df-ba 30527  df-sm 30528  df-0v 30529  df-vs 30530  df-nmcv 30531  df-ims 30532  df-hnorm 30899  df-hvsub 30902  df-hcau 30904

This theorem is referenced by:  hhcmpl  31131  hhcms  31134  hlimcaui  31167  hhsscms  31209