Theorem hilbert1.1 33617

Description: There is a line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.1 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hilbert1.1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hilbert1.1

Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqidd 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))
5		neeq1 3080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞))
6		oveq1 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝Line𝑞) = (𝑃Line𝑞))
7	6	eqeq2d 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)))
8	5, 7	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞))))
9		neeq2 3081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
10		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃Line𝑞) = (𝑃Line𝑄))
11	10	eqeq2d 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄)))
12	9, 11	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))))
13	8, 12	rspc2ev 3637	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
14	1, 2, 3, 4, 13	syl112anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
15		fveq2 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝔼‘𝑛) = (𝔼‘𝑁))
16	15	rexeqdv 3418	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
17	15, 16	rexeqbidv 3404	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
18	17	rspcev 3625	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
19	14, 18	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
20		ellines 33615	. . 3 ⊢ ((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
21	19, 20	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE)
22		linerflx1 33612	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄))
23		linerflx2 33614	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))
24		eleq2 2903	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄)))
25		eleq2 2903	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑄 ∈ 𝑥 ↔ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄)))
26	24, 25	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))))
27	26	rspcev 3625	. 2 ⊢ (((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
28	21, 22, 23, 27	syl12anc 834	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℕcn 11640  𝔼cee 26676  Linecline2 33597  LinesEEclines2 33599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-ec 8293  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045  df-ee 26679  df-btwn 26680  df-cgr 26681  df-colinear 33502  df-line2 33600  df-lines2 33602

This theorem is referenced by:  linethrueu  33619