Theorem hilbert1.1 33728

Description: There is a line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.1 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hilbert1.1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hilbert1.1

Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
2		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))
5		neeq1 3049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞))
6		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝Line𝑞) = (𝑃Line𝑞))
7	6	eqeq2d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)))
8	5, 7	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞))))
9		neeq2 3050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
10		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃Line𝑞) = (𝑃Line𝑄))
11	10	eqeq2d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄)))
12	9, 11	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))))
13	8, 12	rspc2ev 3583	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
14	1, 2, 3, 4, 13	syl112anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
15		fveq2 6645	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝔼‘𝑛) = (𝔼‘𝑁))
16	15	rexeqdv 3365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
17	15, 16	rexeqbidv 3355	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
18	17	rspcev 3571	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
19	14, 18	sylan2 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
20		ellines 33726	. . 3 ⊢ ((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝 ≠ 𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
21	19, 20	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE)
22		linerflx1 33723	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄))
23		linerflx2 33725	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))
24		eleq2 2878	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄)))
25		eleq2 2878	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑄 ∈ 𝑥 ↔ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄)))
26	24, 25	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))))
27	26	rspcev 3571	. 2 ⊢ (((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
28	21, 22, 23, 27	syl12anc 835	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℕcn 11625  𝔼cee 26682  Linecline2 33708  LinesEEclines2 33710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-ee 26685  df-btwn 26686  df-cgr 26687  df-colinear 33613  df-line2 33711  df-lines2 33713

This theorem is referenced by:  linethrueu  33730