Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hilbert1.1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilbert1.1 35659
Description: There is a line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.1 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
hilbert1.1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hilbert1.1
Dummy variables 𝑛 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
4 eqidd 2727 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))
5 neeq1 2997 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑞𝑃𝑞))
6 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝Line𝑞) = (𝑃Line𝑞))
76eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)))
85, 7anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ (𝑃𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞))))
9 neeq2 2998 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃𝑞𝑃𝑄))
10 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑄 → (𝑃Line𝑞) = (𝑃Line𝑄))
1110eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞) ↔ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄)))
129, 11anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑃𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑞)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))))
138, 12rspc2ev 3619 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1371 . . . 4 ((𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
15 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝔼‘𝑛) = (𝔼‘𝑁))
1615rexeqdv 3320 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
1715, 16rexeqbidv 3337 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))))
1817rspcev 3606 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
1914, 18sylan2 592 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
20 ellines 35657 . . 3 ((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑛)∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑛)(𝑝𝑞 ∧ (𝑃Line𝑄) = (𝑝Line𝑞)))
2119, 20sylibr 233 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → (𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE)
22 linerflx1 35654 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄))
23 linerflx2 35656 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))
24 eleq2 2816 . . . 4 (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄)))
25 eleq2 2816 . . . 4 (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → (𝑄𝑥𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄)))
2624, 25anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = (𝑃Line𝑄) → ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))))
2726rspcev 3606 . 2 (((𝑃Line𝑄) ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃Line𝑄))) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
2821, 22, 23, 27syl12anc 834 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → ∃𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  cfv 6537  (class class class)co 7405  cn 12216  𝔼cee 28654  Linecline2 35639  LinesEEclines2 35641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ee 28657  df-btwn 28658  df-cgr 28659  df-colinear 35544  df-line2 35642  df-lines2 35644
This theorem is referenced by:  linethrueu  35661
  Copyright terms: Public domain W3C validator