Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hilbert1.2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilbert1.2 34793
Description: There is at most one line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.2 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hilbert1.2 (𝑃𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄

Proof of Theorem hilbert1.2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 655 . . . . 5 (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))))
2 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑥 ∈ LinesEE)
3 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → (𝑃𝑥𝑄𝑥))
4 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑃𝑄)
5 linethru 34791 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
62, 3, 4, 5syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
76ex 414 . . . . . . 7 (𝑃𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄)))
8 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 ∈ LinesEE)
9 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → (𝑃𝑦𝑄𝑦))
10 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑃𝑄)
11 linethru 34791 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
128, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
1312ex 414 . . . . . . 7 (𝑃𝑄 → ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄)))
147, 13anim12d 610 . . . . . 6 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → (𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄))))
15 eqtr3 2759 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄)) → 𝑥 = 𝑦)
1614, 15syl6 35 . . . . 5 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
171, 16biimtrid 241 . . . 4 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
1817expd 417 . . 3 (𝑃𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) → (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
1918ralrimivv 3192 . 2 (𝑃𝑄 → ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
20 eleq2w 2818 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃𝑥𝑃𝑦))
21 eleq2w 2818 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑄𝑥𝑄𝑦))
2220, 21anbi12d 632 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ (𝑃𝑦𝑄𝑦)))
2322rmo4 3692 . 2 (∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
2419, 23sylibr 233 1 (𝑃𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  ∃*wrmo 3351  (class class class)co 7361  Linecline2 34772  LinesEEclines2 34774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-ec 8656  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-ee 27889  df-btwn 27890  df-cgr 27891  df-ofs 34621  df-colinear 34677  df-ifs 34678  df-cgr3 34679  df-fs 34680  df-line2 34775  df-lines2 34777
This theorem is referenced by:  linethrueu  34794
  Copyright terms: Public domain W3C validator