Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hilbert1.2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilbert1.2 33519
 Description: There is at most one line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.2 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hilbert1.2 (𝑃𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄

Proof of Theorem hilbert1.2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 652 . . . . 5 (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))))
2 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑥 ∈ LinesEE)
3 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → (𝑃𝑥𝑄𝑥))
4 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑃𝑄)
5 linethru 33517 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
62, 3, 4, 5syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
76ex 413 . . . . . . 7 (𝑃𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄)))
8 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 ∈ LinesEE)
9 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → (𝑃𝑦𝑄𝑦))
10 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑃𝑄)
11 linethru 33517 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
128, 9, 10, 11syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
1312ex 413 . . . . . . 7 (𝑃𝑄 → ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄)))
147, 13anim12d 608 . . . . . 6 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → (𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄))))
15 eqtr3 2848 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄)) → 𝑥 = 𝑦)
1614, 15syl6 35 . . . . 5 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
171, 16syl5bi 243 . . . 4 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
1817expd 416 . . 3 (𝑃𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) → (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
1918ralrimivv 3195 . 2 (𝑃𝑄 → ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
20 eleq2w 2901 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃𝑥𝑃𝑦))
21 eleq2w 2901 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑄𝑥𝑄𝑦))
2220, 21anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ (𝑃𝑦𝑄𝑦)))
2322rmo4 3725 . 2 (∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
2419, 23sylibr 235 1 (𝑃𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  ∃*wrmo 3146  (class class class)co 7150  Linecline2 33498  LinesEEclines2 33500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-ec 8286  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-ee 26610  df-btwn 26611  df-cgr 26612  df-ofs 33347  df-colinear 33403  df-ifs 33404  df-cgr3 33405  df-fs 33406  df-line2 33501  df-lines2 33503 This theorem is referenced by:  linethrueu  33520
 Copyright terms: Public domain W3C validator