Theorem hilbert1.2 36150

Description: There is at most one line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.2 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hilbert1.2	⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄

Proof of Theorem hilbert1.2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 656	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))))
2		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))) → 𝑥 ∈ LinesEE)
3		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))) → (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
4		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
5		linethru 36148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
7	6	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥)) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄)))
8		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) → 𝑦 ∈ LinesEE)
9		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) → (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))
10		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
11		linethru 36148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
13	12	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦)) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄)))
14	7, 13	anim12d 609	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) → (𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄))))
15		eqtr3 2752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄)) → 𝑥 = 𝑦)
16	14, 15	syl6 35	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
17	1, 16	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
18	17	expd 415	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) → (((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
19	18	ralrimivv 3179	. 2 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
20		eleq2w 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ 𝑦))
21		eleq2w 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 ∈ 𝑥 ↔ 𝑄 ∈ 𝑦))
22	20, 21	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦)))
23	22	rmo4 3704	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ 𝑄 ∈ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
24	19, 23	sylibr 234	1 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃*wrmo 3355  (class class class)co 7390  Linecline2 36129  LinesEEclines2 36131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-ee 28825  df-btwn 28826  df-cgr 28827  df-ofs 35978  df-colinear 36034  df-ifs 36035  df-cgr3 36036  df-fs 36037  df-line2 36132  df-lines2 36134

This theorem is referenced by:  linethrueu  36151