Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hilbert1.2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilbert1.2 35927
Description: There is at most one line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.2 for geometry. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hilbert1.2 (𝑃𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄

Proof of Theorem hilbert1.2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 654 . . . . 5 (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))))
2 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑥 ∈ LinesEE)
3 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → (𝑃𝑥𝑄𝑥))
4 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑃𝑄)
5 linethru 35925 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
62, 3, 4, 5syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥))) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄))
76ex 411 . . . . . . 7 (𝑃𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) → 𝑥 = (𝑃Line𝑄)))
8 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 ∈ LinesEE)
9 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → (𝑃𝑦𝑄𝑦))
10 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑃𝑄)
11 linethru 35925 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑄 ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄))
1312ex 411 . . . . . . 7 (𝑃𝑄 → ((𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑦 = (𝑃Line𝑄)))
147, 13anim12d 607 . . . . . 6 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → (𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄))))
15 eqtr3 2751 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝑃Line𝑄) ∧ 𝑦 = (𝑃Line𝑄)) → 𝑥 = 𝑦)
1614, 15syl6 35 . . . . 5 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑥𝑄𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ LinesEE ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
171, 16biimtrid 241 . . . 4 (𝑃𝑄 → (((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = 𝑦))
1817expd 414 . . 3 (𝑃𝑄 → ((𝑥 ∈ LinesEE ∧ 𝑦 ∈ LinesEE) → (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
1918ralrimivv 3188 . 2 (𝑃𝑄 → ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
20 eleq2w 2809 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃𝑥𝑃𝑦))
21 eleq2w 2809 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑄𝑥𝑄𝑦))
2220, 21anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ (𝑃𝑦𝑄𝑦)))
2322rmo4 3723 . 2 (∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ LinesEE ∀𝑦 ∈ LinesEE (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
2419, 23sylibr 233 1 (𝑃𝑄 → ∃*𝑥 ∈ LinesEE (𝑃𝑥𝑄𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  ∃*wrmo 3362  (class class class)co 7423  Linecline2 35906  LinesEEclines2 35908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-ec 8735  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9481  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-ee 28817  df-btwn 28818  df-cgr 28819  df-ofs 35755  df-colinear 35811  df-ifs 35812  df-cgr3 35813  df-fs 35814  df-line2 35909  df-lines2 35911
This theorem is referenced by:  linethrueu  35928
  Copyright terms: Public domain W3C validator