Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihjat 40805
Description: Isomorphism H of lattice join of two atoms. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihjat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjat.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihjat.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjat.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihjat.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
dihjat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
dihjat (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
Proof of Theorem dihjat
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 dihjat.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 dihjat.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dihjat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dihjat.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dihjat.s . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
7 dihjat.i . . 3 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dihjat.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 dihjat.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1110adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
12 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1311, 12jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š))
14 dihjat.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
1514adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
16 simprr 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)
1715, 16jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 17dihjatb 40798 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
19 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
208adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2119, 4atbase 38670 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2210, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2322adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š)
2523, 24jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š))
2614adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
27 simprr 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)
2826, 27jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š))
2919, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 28dihjatc 40799 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
308adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3119, 4atbase 38670 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3214, 31syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3332adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
34 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)
3533, 34jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š))
3610adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
37 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š)
3836, 37jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š))
3919, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 30, 35, 38dihjatc 40799 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑄 ∨ 𝑃)) = ((πΌβ€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜π‘ƒ)))
408simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
413, 4hlatjcom 38749 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
4240, 10, 14, 41syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
4342fveq2d 6888 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = (πΌβ€˜(𝑄 ∨ 𝑃)))
4443adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = (πΌβ€˜(𝑄 ∨ 𝑃)))
452, 5, 8dvhlmod 40492 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
46 lmodabl 20753 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
4745, 46syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
48 eqid 2726 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4948lsssssubg 20803 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
5045, 49syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
5119, 2, 7, 5, 48dihlss 40632 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
528, 22, 51syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
5350, 52sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
5419, 2, 7, 5, 48dihlss 40632 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
558, 32, 54syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
5650, 55sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
576lsmcom 19776 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ Abel ∧ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)) = ((πΌβ€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜π‘ƒ)))
5847, 53, 56, 57syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)) = ((πΌβ€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜π‘ƒ)))
5958adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)) = ((πΌβ€˜π‘„) βŠ• (πΌβ€˜π‘ƒ)))
6039, 44, 593eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
618adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6210adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
63 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š)
6462, 63jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š))
6514adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
66 simprr 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)
6765, 66jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š))
681, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 61, 64, 67dihjatcc 40804 . 2 ((πœ‘ ∧ (Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
6918, 29, 60, 684casesdan 1038 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  SubGrpcsubg 19045  LSSumclsm 19552  Abelcabl 19699  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  DIsoHcdih 40610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777
This theorem is referenced by:  dihprrnlem2  40807
  Copyright terms: Public domain W3C validator