Theorem dihjat 41726

Description: Isomorphism H of lattice join of two atoms. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
dihjat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dihjat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		dihjat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihjat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		dihjat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		dihjat.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		dihjat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dihjat.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
13	11, 12	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
14		dihjat.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
17	15, 16	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 17	dihjatb 41719	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
20	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21	19, 4	atbase 39592	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22	10, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
24		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
25	23, 24	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
26	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
27		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
28	26, 27	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊))
29	19, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 25, 28	dihjatc 41720	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))
30	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
31	19, 4	atbase 39592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
32	14, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
34		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
35	33, 34	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊))
36	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
37		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
38	36, 37	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
39	19, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 30, 35, 38	dihjatc 41720	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑄 ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
40	8	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
41	3, 4	hlatjcom 39671	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
42	40, 10, 14, 41	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
43	42	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (𝐼‘(𝑄 ∨ 𝑃)))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (𝐼‘(𝑄 ∨ 𝑃)))
45	2, 5, 8	dvhlmod 41413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
46		lmodabl 20864	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Abel)
48		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
49	48	lsssssubg 20913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
50	45, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
51	19, 2, 7, 5, 48	dihlss 41553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
52	8, 22, 51	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53	50, 52	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈))
54	19, 2, 7, 5, 48	dihlss 41553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
55	8, 32, 54	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
56	50, 55	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈))
57	6	lsmcom 19791	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐼‘𝑃) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑄) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) = ((𝐼‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
58	47, 53, 56, 57	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) = ((𝐼‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
59	58	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) = ((𝐼‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
60	39, 44, 59	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))
61	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
62	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
63		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)
64	62, 63	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
65	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
66		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
67	65, 66	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊))
68	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 61, 64, 67	dihjatcc 41725	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))
69	18, 29, 60, 68	4casesdan 1042	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  lecple 17188  joincjn 18238  SubGrpcsubg 19054  LSSumclsm 19567  Abelcabl 19714  LModclmod 20815  LSubSpclss 20886  Atomscatm 39566  HLchlt 39653  LHypclh 40287  DVecHcdvh 41381  DIsoHcdih 41531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-riotaBAD 39256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-0g 17365  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-drng 20668  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lvec 21059  df-lsatoms 39279  df-oposet 39479  df-ol 39481  df-oml 39482  df-covers 39569  df-ats 39570  df-atl 39601  df-cvlat 39625  df-hlat 39654  df-llines 39801  df-lplanes 39802  df-lvols 39803  df-lines 39804  df-psubsp 39806  df-pmap 39807  df-padd 40099  df-lhyp 40291  df-laut 40292  df-ldil 40407  df-ltrn 40408  df-trl 40462  df-tgrp 41046  df-tendo 41058  df-edring 41060  df-dveca 41306  df-disoa 41332  df-dvech 41382  df-dib 41442  df-dic 41476  df-dih 41532  df-doch 41651  df-djh 41698

This theorem is referenced by:  dihprrnlem2  41728