Theorem isfieldidl 21567

Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfieldidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isfieldidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isfieldidl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
isfieldidl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isfieldidl	⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem isfieldidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 21020	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isfieldidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isfieldidl.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		isfieldidl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	2, 3, 4	drngidl 21566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
7		isfieldidl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	7, 3	nzrnz 20792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )
9	8	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ≠ 1 )
10	9	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
12	11	pm4.71rd 572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
13	6, 12	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
14		drngnzr 21029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
15	14	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
17		ianor 997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
18	7, 3	isnzr 20791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
19	17, 18	xchnxbir 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
20		pm2.24 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
21		crngring 20499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	20, 21	syl11 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
23		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 0 ≠ 1 )
24	23	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 1 ≠ 0 )
25	24	con3i 155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → ¬ 0 ≠ 1 )
26	25	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
28	22, 27	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
29	19, 28	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
30	29	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
31		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
33	16, 32	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
34	13, 33	pm2.61ian 824	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
35	34	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
36		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
37		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
38	35, 36, 37	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
39	1, 38	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  NzRingcnzr 20789  DivRingcdr 21007  Fieldcfield 21008  LIdealclidl 21511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-nzr 20790  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-field 21010  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514

This theorem is used by:  isfieldidl2  21568