Theorem isfieldidl 21365

Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfieldidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isfieldidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isfieldidl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
isfieldidl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isfieldidl	⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem isfieldidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20825	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isfieldidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isfieldidl.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		isfieldidl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	2, 3, 4	drngidl 21364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
7		isfieldidl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	7, 3	nzrnz 20597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )
9	8	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ≠ 1 )
10	9	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
11	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
12	11	pm4.71rd 571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
13	6, 12	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
14		drngnzr 20833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
15	14	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
16	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
17		ianor 997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
18	7, 3	isnzr 20596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
19	17, 18	xchnxbir 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
20		pm2.24 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
21		crngring 20326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	20, 21	syl11 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
23		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 0 ≠ 1 )
24	23	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 1 ≠ 0 )
25	24	con3i 155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → ¬ 0 ≠ 1 )
26	25	orcd 886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
28	22, 27	jaoi 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
29	19, 28	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
30	29	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
31		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
33	16, 32	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
34	13, 33	pm2.61ian 823	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
35	34	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
36		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
37		3anass 1109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
38	35, 36, 37	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
39	1, 38	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  NzRingcnzr 20594  DivRingcdr 20812  Fieldcfield 20813  LIdealclidl 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-nzr 20595  df-subrg 20654  df-drng 20814  df-field 20815  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312

This theorem is referenced by:  isfieldidl2  21366