Theorem isfieldidl 21397

Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfieldidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isfieldidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isfieldidl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
isfieldidl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isfieldidl	⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem isfieldidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20851	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isfieldidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isfieldidl.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		isfieldidl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	2, 3, 4	drngidl 21396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
7		isfieldidl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	7, 3	nzrnz 20623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )
9	8	necomd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ≠ 1 )
10	9	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
11	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
12	11	pm4.71rd 571	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
13	6, 12	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
14		drngnzr 20859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
15	14	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
16	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
17		ianor 996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
18	7, 3	isnzr 20622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
19	17, 18	xchnxbir 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
20		pm2.24 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
21		crngring 20333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	20, 21	syl11 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
23		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 0 ≠ 1 )
24	23	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 1 ≠ 0 )
25	24	con3i 155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → ¬ 0 ≠ 1 )
26	25	orcd 886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
28	22, 27	jaoi 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
29	19, 28	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
30	29	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
31		ianor 996	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
33	16, 32	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
34	13, 33	pm2.61ian 823	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
35	34	pm5.32i 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
36		ancom 465	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
37		3anass 1110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
38	35, 36, 37	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
39	1, 38	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  NzRingcnzr 20620  DivRingcdr 20838  Fieldcfield 20839  LIdealclidl 21341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-nzr 20621  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-field 20841  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344

This theorem is used by:  isfieldidl2  21398