Theorem isfieldidl 21450

Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfieldidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isfieldidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isfieldidl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
isfieldidl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isfieldidl	⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem isfieldidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20904	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isfieldidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isfieldidl.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		isfieldidl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	2, 3, 4	drngidl 21449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
7		isfieldidl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	7, 3	nzrnz 20676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )
9	8	necomd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ≠ 1 )
10	9	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
12	11	pm4.71rd 572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
13	6, 12	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
14		drngnzr 20912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
15	14	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
17		ianor 997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
18	7, 3	isnzr 20675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
19	17, 18	xchnxbir 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
20		pm2.24 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
21		crngring 20385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	20, 21	syl11 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
23		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 0 ≠ 1 )
24	23	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 1 ≠ 0 )
25	24	con3i 155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → ¬ 0 ≠ 1 )
26	25	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
28	22, 27	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
29	19, 28	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
30	29	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
31		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
33	16, 32	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
34	13, 33	pm2.61ian 824	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
35	34	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
36		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
37		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
38	35, 36, 37	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
39	1, 38	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  NzRingcnzr 20673  DivRingcdr 20891  Fieldcfield 20892  LIdealclidl 21394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-nzr 20674  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-field 20894  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397

This theorem is used by:  isfieldidl2  21451