Theorem isfieldidl 21540

Description: Determine if a ring is a field based on its ideals. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 30-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfieldidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isfieldidl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isfieldidl.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
isfieldidl.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isfieldidl	⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

Proof of Theorem isfieldidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20993	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2		isfieldidl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		isfieldidl.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		isfieldidl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	2, 3, 4	drngidl 21539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
7		isfieldidl.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	7, 3	nzrnz 20765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 1 ≠ 0 )
9	8	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 0 ≠ 1 )
10	9	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
11	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} → 0 ≠ 1 ))
12	11	pm4.71rd 572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
13	6, 12	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
14		drngnzr 21002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
15	14	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
17		ianor 997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ) ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
18	7, 3	isnzr 20764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ≠ 0 ))
19	17, 18	xchnxbir 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ (¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ))
20		pm2.24 125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ Ring → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
21		crngring 20472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	20, 21	syl11 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
23		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 0 ≠ 1 )
24	23	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ≠ 1 → 1 ≠ 0 )
25	24	con3i 155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → ¬ 0 ≠ 1 )
26	25	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
27	26	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 1 ≠ 0 → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
28	22, 27	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ Ring ∨ ¬ 1 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
29	19, 28	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ CRing → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
30	29	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
31		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (¬ 0 ≠ 1 ∨ ¬ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
32	30, 31	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ¬ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
33	16, 32	2falsed 379	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
34	13, 33	pm2.61ian 824	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ∈ DivRing ↔ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
35	34	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
36		ancom 466	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing))
37		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ ( 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵})))
38	35, 36, 37	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))
39	1, 38	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 0 ≠ 1 ∧ 𝐼 = {{ 0 }, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  NzRingcnzr 20762  DivRingcdr 20980  Fieldcfield 20981  LIdealclidl 21484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-nzr 20763  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-field 20983  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487

This theorem is used by:  isfieldidl2  21541