Theorem lgsmulsqcoprm 27250

Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsmulsqcoprm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsqcl 14111	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zcn 12579	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		sqne0 14105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
9	8	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	9, 10	anim12i 612	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
12	11	3adant3 1130	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13		lgsdir 27239	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
14	5, 12, 13	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
15		3anass 1093	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)))
16	15	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
17	16	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18		lgssq 27244	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
20	19	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (1 · (𝐵 /L 𝑁)))
21	3, 4	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22	21	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
23		lgscl 27218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12683	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11248	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (1 · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝐵 /L 𝑁))
27	14, 20, 26	3eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  2c2 12283  ℤcz 12574  ↑cexp 14044   gcd cgcd 16454   /_L clgs 27201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-phi 16720  df-pc 16791  df-lgs 27202

This theorem is referenced by: (None)