MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsmulsqcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsmulsqcoprm 27289
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lgsmulsqcoprm (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm
StepHypRef Expression
1 zsqcl 14120 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
21adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3 simpl 481 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 simpl 481 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
52, 3, 43anim123i 1148 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
6 zcn 12588 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 sqne0 14114 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
98biimpar 476 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰  0)
10 simpr 483 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
119, 10anim12i 611 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
12113adant3 1129 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
13 lgsdir 27278 . . 3 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
145, 12, 13syl2anc 582 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
15 3anass 1092 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)))
1615biimpri 227 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
17163adant2 1128 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
18 lgssq 27283 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)
1917, 18syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)
2019oveq1d 7428 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = (1 ยท (๐ต /L ๐‘)))
213, 4anim12i 611 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
22213adant1 1127 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
23 lgscl 27257 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2524zcnd 12692 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2625mullidd 11257 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (1 ยท (๐ต /L ๐‘)) = (๐ต /L ๐‘))
2714, 20, 263eqtrd 2769 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  0cc0 11133  1c1 11134   ยท cmul 11138  2c2 12292  โ„คcz 12583  โ†‘cexp 14053   gcd cgcd 16463   /L clgs 27240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-phi 16729  df-pc 16800  df-lgs 27241
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator