MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsmulsqcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsmulsqcoprm 26694
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lgsmulsqcoprm (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm
StepHypRef Expression
1 zsqcl 14035 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
21adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3 simpl 484 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
52, 3, 43anim123i 1152 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
6 zcn 12505 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 sqne0 14029 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
98biimpar 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰  0)
10 simpr 486 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
119, 10anim12i 614 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
12113adant3 1133 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
13 lgsdir 26683 . . 3 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
145, 12, 13syl2anc 585 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
15 3anass 1096 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)))
1615biimpri 227 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
17163adant2 1132 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
18 lgssq 26688 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)
1917, 18syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)
2019oveq1d 7373 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = (1 ยท (๐ต /L ๐‘)))
213, 4anim12i 614 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
22213adant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
23 lgscl 26662 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2524zcnd 12609 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2625mulid2d 11174 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (1 ยท (๐ต /L ๐‘)) = (๐ต /L ๐‘))
2714, 20, 263eqtrd 2781 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057  2c2 12209  โ„คcz 12500  โ†‘cexp 13968   gcd cgcd 16375   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-lgs 26646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator