Theorem lgsmulsqcoprm 27634

Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsmulsqcoprm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsqcl 14241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zcn 12668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		sqne0 14235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
9	8	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	9, 10	anim12i 625	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
12	11	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13		lgsdir 27623	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
14	5, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
15		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)))
16	15	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
17	16	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18		lgssq 27628	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
20	19	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (1 · (𝐵 /L 𝑁)))
21	3, 4	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22	21	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
23		lgscl 27602	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11299	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (1 · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝐵 /L 𝑁))
27	14, 20, 26	3eqtrd 2799	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  0cc0 11172  1c1 11173   · cmul 11177  2c2 12367  ℤcz 12663  ↑cexp 14173   gcd cgcd 16632   /_L clgs 27585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-xnn0 12650  df-z 12664  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-dvds 16391  df-gcd 16633  df-prm 16810  df-phi 16905  df-pc 16977  df-lgs 27586

This theorem is used by: (None)