MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgssq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgssq 27269
Description: The Legendre symbol at a square is equal to 1. Together with lgsmod 27255 this implies that the Legendre symbol takes value 1 at every quadratic residue. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lgssq (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)

Proof of Theorem lgssq
StepHypRef Expression
1 simp1l 1195 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2 simp2 1135 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 simp1r 1196 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐ด โ‰  0)
4 lgsdir 27264 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L ๐‘)))
51, 1, 2, 3, 3, 4syl32anc 1376 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) /L ๐‘) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L ๐‘)))
6 zcn 12593 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
76adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
873ad2ant1 1131 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98sqvald 14139 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
109oveq1d 7435 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = ((๐ด ยท ๐ด) /L ๐‘))
11 lgscl 27243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
121, 2, 11syl2anc 583 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1312zred 12696 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„)
14 absresq 15281 . . . 4 ((๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜(๐ด /L ๐‘))โ†‘2) = ((๐ด /L ๐‘)โ†‘2))
1513, 14syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐ด /L ๐‘))โ†‘2) = ((๐ด /L ๐‘)โ†‘2))
16 lgsabs1 27268 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐ด /L ๐‘)) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐‘) = 1))
1716adantlr 714 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜(๐ด /L ๐‘)) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐‘) = 1))
1817biimp3ar 1467 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ (absโ€˜(๐ด /L ๐‘)) = 1)
1918oveq1d 7435 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐ด /L ๐‘))โ†‘2) = (1โ†‘2))
20 sq1 14190 . . . 4 (1โ†‘2) = 1
2119, 20eqtrdi 2784 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((absโ€˜(๐ด /L ๐‘))โ†‘2) = 1)
2212zcnd 12697 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2322sqvald 14139 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ด /L ๐‘)โ†‘2) = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L ๐‘)))
2415, 21, 233eqtr3d 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ 1 = ((๐ด /L ๐‘) ยท (๐ด /L ๐‘)))
255, 10, 243eqtr4d 2778 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143  2c2 12297  โ„คcz 12588  โ†‘cexp 14058  abscabs 15213   gcd cgcd 16468   /L clgs 27226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-phi 16734  df-pc 16805  df-lgs 27227
This theorem is referenced by:  1lgs  27272  lgsmulsqcoprm  27275  lgsqr  27283  lgsquad2lem2  27317
  Copyright terms: Public domain W3C validator