Theorem lgssq 26485

Description: The Legendre symbol at a square is equal to 1. Together with lgsmod 26471 this implies that the Legendre symbol takes value 1 at every quadratic residue. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgssq	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)

Proof of Theorem lgssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simp2 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		simp1r 1197	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
4		lgsdir 26480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
5	1, 1, 2, 3, 3, 4	syl32anc 1377	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴 · 𝐴) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
6		zcn 12324	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	sqvald 13861	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
10	9	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = ((𝐴 · 𝐴) /L 𝑁))
11		lgscl 26459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
12	1, 2, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	zred 12426	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ)
14		absresq 15014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = ((𝐴 /L 𝑁)↑2))
16		lgsabs1 26484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
17	16	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18	17	biimp3ar 1469	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1)
19	18	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = (1↑2))
20		sq1 13912	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁))↑2) = 1)
22	12	zcnd 12427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
23	22	sqvald 13861	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴 /L 𝑁)↑2) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
24	15, 21, 23	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐴 /L 𝑁)))
25	5, 10, 24	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  2c2 12028  ℤcz 12319  ↑cexp 13782  abscabs 14945   gcd cgcd 16201   /_L clgs 26442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467  df-pc 16538  df-lgs 26443

This theorem is referenced by:  1lgs  26488  lgsmulsqcoprm  26491  lgsqr  26499  lgsquad2lem2  26533