Theorem lineintmo 36139

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lineintmo	⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lineintmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
2		linethru 36135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
3	2	3expa 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
4		linethru 36135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
5	4	3expa 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
6		eqtr3 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = (𝑥Line𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑥Line𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	anandirs 679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝐴 = 𝐵))
10	9	necon1d 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
11	10	an4s 660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
12	1, 11	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦)))
14	13	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦)))
15	14	3impia 1116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
16	15	alrimivv 1926	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
17		eleq1w 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18		eleq1w 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	17, 18	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
20	19	mo4 2564	. 2 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
21	16, 20	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2536   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  Linecline2 36116  LinesEEclines2 36118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-ee 28921  df-btwn 28922  df-cgr 28923  df-ofs 35965  df-colinear 36021  df-ifs 36022  df-cgr3 36023  df-fs 36024  df-line2 36119  df-lines2 36121

This theorem is referenced by: (None)