Theorem lineintmo 36197

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lineintmo	⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lineintmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
2		linethru 36193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
3	2	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
4		linethru 36193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
5	4	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
6		eqtr3 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = (𝑥Line𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑥Line𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	anandirs 679	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝐴 = 𝐵))
10	9	necon1d 2950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
11	10	an4s 660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
12	1, 11	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
13	12	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦)))
14	13	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦)))
15	14	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
16	15	alrimivv 1929	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
17		eleq1w 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18		eleq1w 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	17, 18	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
20	19	mo4 2561	. 2 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
21	16, 20	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2533   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  Linecline2 36174  LinesEEclines2 36176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-ec 8624  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-ee 28870  df-btwn 28871  df-cgr 28872  df-ofs 36023  df-colinear 36079  df-ifs 36080  df-cgr3 36081  df-fs 36082  df-line2 36177  df-lines2 36179

This theorem is referenced by: (None)