Theorem lineintmo 36467

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lineintmo	⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lineintmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
2		linethru 36463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
3	2	3expa 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥Line𝑦))
4		linethru 36463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
5	4	3expa 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥Line𝑦))
6		eqtr3 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = (𝑥Line𝑦) ∧ 𝐵 = (𝑥Line𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) ∧ ((𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	anandirs 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
9	8	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝐴 = 𝐵))
10	9	necon1d 2978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ LinesEE ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
11	10	an4s 670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
12	1, 11	sylan2b 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦))
13	12	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝑥 = 𝑦)))
14	13	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE) → (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦)))
15	14	3impia 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
16	15	alrimivv 1947	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
17		eleq1w 2844	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18		eleq1w 2844	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
19	17, 18	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
20	19	mo4 2592	. 2 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
21	16, 20	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ LinesEE ∧ 𝐵 ∈ LinesEE ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097  ∀wal 1557   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃*wmo 2563   ≠ wne 2956  (class class class)co 7390  Linecline2 36444  LinesEEclines2 36446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-ec 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-sum 15704  df-ee 29047  df-btwn 29048  df-cgr 29049  df-ofs 36293  df-colinear 36349  df-ifs 36350  df-cgr3 36351  df-fs 36352  df-line2 36447  df-lines2 36449

This theorem is referenced by: (None)