Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6f 39823
Description: Lemmma for hdmap1l6 39829. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6d.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6d.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6d.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.w (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6d.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6f (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6f
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1l6.p . 2 + = (+g𝑈)
5 hdmap1l6.s . 2 = (-g𝑈)
6 hdmap1l6c.o . 2 0 = (0g𝑈)
7 hdmap1l6.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 hdmap1l6.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap1l6.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 hdmap1l6.a . 2 = (+g𝐶)
11 hdmap1l6.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
12 hdmap1l6.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
13 hdmap1l6.l . 2 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14 hdmap1l6.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.i . 2 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap1l6.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hdmap1l6.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
18 hdmap1l6cl.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 hdmap1l6.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
20 hdmap1l6d.w . 2 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 hdmap1l6d.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
221, 2, 16dvhlvec 39117 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2321eldifad 3904 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2420eldifad 3904 . . . 4 (𝜑𝑤𝑉)
2518eldifad 3904 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
26 hdmap1l6d.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2726eldifad 3904 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
28 hdmap1l6d.xn . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
293, 7, 22, 25, 23, 27, 28lspindpi 20390 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
3029simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31 hdmap1l6d.wn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
323, 6, 7, 22, 18, 23, 24, 30, 31lspindp1 20391 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌})))
3332simprd 496 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑌}))
343, 7, 22, 24, 25, 23, 31lspindpi 20390 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
3534simprd 496 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
36 eqidd 2741 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩))
37 eqidd 2741 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 33, 35, 36, 37hdmap1l6a 39817 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑤 + 𝑌)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑤⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  cdif 3889  {csn 4567  {cpr 4569  cotp 4575  cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  +gcplusg 16958  0gc0g 17146  -gcsg 18575  LSpanclspn 20229  HLchlt 37358  LHypclh 37992  DVecHcdvh 39086  LCDualclcd 39594  mapdcmpd 39632  HDMap1chdma1 39799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-riotaBAD 36961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-undef 8078  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-0g 17148  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-proset 18009  df-poset 18027  df-plt 18044  df-lub 18060  df-glb 18061  df-join 18062  df-meet 18063  df-p0 18139  df-p1 18140  df-lat 18146  df-clat 18213  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-sbg 18578  df-subg 18748  df-cntz 18919  df-oppg 18946  df-lsm 19237  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-invr 19910  df-dvr 19921  df-drng 19989  df-lmod 20121  df-lss 20190  df-lsp 20230  df-lvec 20361  df-lsatoms 36984  df-lshyp 36985  df-lcv 37027  df-lfl 37066  df-lkr 37094  df-ldual 37132  df-oposet 37184  df-ol 37186  df-oml 37187  df-covers 37274  df-ats 37275  df-atl 37306  df-cvlat 37330  df-hlat 37359  df-llines 37506  df-lplanes 37507  df-lvols 37508  df-lines 37509  df-psubsp 37511  df-pmap 37512  df-padd 37804  df-lhyp 37996  df-laut 37997  df-ldil 38112  df-ltrn 38113  df-trl 38167  df-tgrp 38751  df-tendo 38763  df-edring 38765  df-dveca 39011  df-disoa 39037  df-dvech 39087  df-dib 39147  df-dic 39181  df-dih 39237  df-doch 39356  df-djh 39403  df-lcdual 39595  df-mapd 39633  df-hdmap1 39801
This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  39824
  Copyright terms: Public domain W3C validator