Theorem mapdh7dN 41355

Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (4 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh7.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh7.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh7.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh7.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh7dN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐺,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   𝑢,ℎ,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   − (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7dN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh7.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh7.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh7.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh7.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh7.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh7.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh7.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdh7.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh7.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh7.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh7.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh7.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh7.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh7.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh7.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh7.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh7.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh7.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh7.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	3, 5, 14	dvhlvec 40714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
21	18	eldifad 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
22	19	eldifad 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
23		mapdh7.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
24		mapdh7.wn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
25	6, 8, 9, 20, 17, 21, 22, 23, 24	lspindp1 21038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}) ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣})))
26	25	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
27		prcom 4738	. . . . 5 ⊢ {𝑣, 𝑤} = {𝑤, 𝑣}
28	27	fveq2i 6899	. . . 4 ⊢ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑣})
29	28	eleq2i 2817	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) ↔ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
30	26, 29	sylnibr 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}))
31	17	eldifad 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
32	6, 9, 20, 22, 31, 21, 24	lspindpi 21037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
33	32	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
34	33	necomd 2985	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
35		mapdh7a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
36		mapdh7.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 34, 35, 36	mapdheq4 41337	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  ⟨cotp 4638   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  ℩crio 7374  (class class class)co 7419  1^st c1st 7992  2^nd c2nd 7993  Basecbs 17188  0_gc0g 17429  -_gcsg 18905  LSpanclspn 20872  HLchlt 38954  LHypclh 39589  DVecHcdvh 40683  LCDualclcd 41191  mapdcmpd 41229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38557

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-0g 17431  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-proset 18295  df-poset 18313  df-plt 18330  df-lub 18346  df-glb 18347  df-join 18348  df-meet 18349  df-p0 18425  df-p1 18426  df-lat 18432  df-clat 18499  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-oppg 19314  df-lsm 19608  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-dvr 20357  df-drng 20643  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-lsp 20873  df-lvec 21005  df-lsatoms 38580  df-lshyp 38581  df-lcv 38623  df-lfl 38662  df-lkr 38690  df-ldual 38728  df-oposet 38780  df-ol 38782  df-oml 38783  df-covers 38870  df-ats 38871  df-atl 38902  df-cvlat 38926  df-hlat 38955  df-llines 39103  df-lplanes 39104  df-lvols 39105  df-lines 39106  df-psubsp 39108  df-pmap 39109  df-padd 39401  df-lhyp 39593  df-laut 39594  df-ldil 39709  df-ltrn 39710  df-trl 39764  df-tgrp 40348  df-tendo 40360  df-edring 40362  df-dveca 40608  df-disoa 40634  df-dvech 40684  df-dib 40744  df-dic 40778  df-dih 40834  df-doch 40953  df-djh 41000  df-lcdual 41192  df-mapd 41230

This theorem is referenced by:  mapdh7fN  41356