Theorem mapdh7dN 41739

Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (4 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh7.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh7.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh7.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh7.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh7.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh7.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh7.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z	⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh7dN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐺,𝑥   0 ,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑥,𝑄   𝑢,ℎ,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   − (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,ℎ)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7dN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh7.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh7.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh7.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh7.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh7.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh7.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh7.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdh7.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh7.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh7.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh7.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh7.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh7.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh7.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh7.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh7.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh7.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh7.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19		mapdh7.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20	3, 5, 14	dvhlvec 41098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
21	18	eldifad 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
22	19	eldifad 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉)
23		mapdh7.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
24		mapdh7.wn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
25	6, 8, 9, 20, 17, 21, 22, 23, 24	lspindp1 21040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}) ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣})))
26	25	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
27		prcom 4684	. . . . 5 ⊢ {𝑣, 𝑤} = {𝑤, 𝑣}
28	27	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑣})
29	28	eleq2i 2820	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) ↔ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
30	26, 29	sylnibr 329	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}))
31	17	eldifad 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
32	6, 9, 20, 22, 31, 21, 24	lspindpi 21039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
33	32	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
34	33	necomd 2980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
35		mapdh7a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
36		mapdh7.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 34, 35, 36	mapdheq4 41721	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  ifcif 4476  {csn 4577  {cpr 4579  ⟨cotp 4585   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  (class class class)co 7349  1^st c1st 7922  2^nd c2nd 7923  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  -_gcsg 18814  LSpanclspn 20874  HLchlt 39339  LHypclh 39973  DVecHcdvh 41067  LCDualclcd 41575  mapdcmpd 41613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38942

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-oppg 19225  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-nzr 20398  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lsatoms 38965  df-lshyp 38966  df-lcv 39008  df-lfl 39047  df-lkr 39075  df-ldual 39113  df-oposet 39165  df-ol 39167  df-oml 39168  df-covers 39255  df-ats 39256  df-atl 39287  df-cvlat 39311  df-hlat 39340  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tgrp 40732  df-tendo 40744  df-edring 40746  df-dveca 40992  df-disoa 41018  df-dvech 41068  df-dib 41128  df-dic 41162  df-dih 41218  df-doch 41337  df-djh 41384  df-lcdual 41576  df-mapd 41614

This theorem is referenced by:  mapdh7fN  41740