Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh7dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh7dN 38890
Description: Part (7) of [Baer] p. 48 line 10 (4 of 6 cases). (Contributed by NM, 2-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh7.s = (-g𝑈)
mapdh7.o 0 = (0g𝑈)
mapdh7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh7.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh7.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh7.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh7.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh7.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh7.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh7.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh7.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh7.x (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.y (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.z (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh7.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
mapdh7.wn (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
mapdh7a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
mapdh7.b (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh7dN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,,   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐺,𝑥   0 ,,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑥,𝑄   𝑢,,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,,𝑥   𝑈,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐷(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑅(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐽(𝑤,𝑣,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑀(𝑤,𝑣,𝑢)   (𝑤,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑤,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑢,)   0 (𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem mapdh7dN
StepHypRef Expression
1 mapdh7.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh7.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh7.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh7.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh7.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh7.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh7.s . 2 = (-g𝑈)
8 mapdh7.o . 2 0 = (0g𝑈)
9 mapdh7.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh7.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh7.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh7.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
13 mapdh7.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh7.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh7.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh7.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh7.x . 2 (𝜑𝑢 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh7.y . 2 (𝜑𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 mapdh7.z . 2 (𝜑𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
203, 5, 14dvhlvec 38249 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2118eldifad 3951 . . . . 5 (𝜑𝑣𝑉)
2219eldifad 3951 . . . . 5 (𝜑𝑤𝑉)
23 mapdh7.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
24 mapdh7.wn . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
256, 8, 9, 20, 17, 21, 22, 23, 24lspindp1 19908 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}) ∧ ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣})))
2625simprd 498 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
27 prcom 4671 . . . . 5 {𝑣, 𝑤} = {𝑤, 𝑣}
2827fveq2i 6676 . . . 4 (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) = (𝑁‘{𝑤, 𝑣})
2928eleq2i 2907 . . 3 (𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}) ↔ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑤, 𝑣}))
3026, 29sylnibr 331 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣, 𝑤}))
3117eldifad 3951 . . . . 5 (𝜑𝑢𝑉)
326, 9, 20, 22, 31, 21, 24lspindpi 19907 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑢}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣})))
3332simprd 498 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
3433necomd 3074 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
35 mapdh7a . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑣⟩) = 𝐺)
36 mapdh7.b . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑢, 𝐹, 𝑤⟩) = 𝐸)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 30, 34, 35, 36mapdheq4 38872 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑣, 𝐺, 𝑤⟩) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  Vcvv 3497  cdif 3936  ifcif 4470  {csn 4570  {cpr 4572  cotp 4578  cmpt 5149  cfv 6358  crio 7116  (class class class)co 7159  1st c1st 7690  2nd c2nd 7691  Basecbs 16486  0gc0g 16716  -gcsg 18108  LSpanclspn 19746  HLchlt 36490  LHypclh 37124  DVecHcdvh 38218  LCDualclcd 38726  mapdcmpd 38764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-riotaBAD 36093
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-ot 4579  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-undef 7942  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878  df-lsatoms 36116  df-lshyp 36117  df-lcv 36159  df-lfl 36198  df-lkr 36226  df-ldual 36264  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640  df-lines 36641  df-psubsp 36643  df-pmap 36644  df-padd 36936  df-lhyp 37128  df-laut 37129  df-ldil 37244  df-ltrn 37245  df-trl 37299  df-tgrp 37883  df-tendo 37895  df-edring 37897  df-dveca 38143  df-disoa 38169  df-dvech 38219  df-dib 38279  df-dic 38313  df-dih 38369  df-doch 38488  df-djh 38535  df-lcdual 38727  df-mapd 38765
This theorem is referenced by:  mapdh7fN  38891
  Copyright terms: Public domain W3C validator