Theorem cpmatmcl 22068

Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is closed under multiplication. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmatmcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cpmatmcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		cpmatsrngpmat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cpmatsrngpmat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	1, 2, 3	cpmatmcllem 22067	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅))
5	2	ply1ring 21619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	5	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8	1, 2, 3, 7	cpmatpmat 22059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
9	8	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
10	1, 2, 3, 7	cpmatpmat 22059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
11	10	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
12	9, 11	anim12dan 619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)))
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)))
15		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
16	15	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
17		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
18	3, 7, 17	matmulcell 21794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))
19	6, 14, 16, 18	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))
20	19	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗))))))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗))))))
22	21	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐))
23	22	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ ℕ) → (((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
24	23	ralbidva 3172	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
25	24	ralbidva 3172	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
26	25	ralbidva 3172	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
27	4, 26	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅))
28		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
29	28	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ Fin)
30		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32	2, 3	pmatring 22041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
33	32	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐶 ∈ Ring)
34		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
35	34	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
36		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
37	35, 36	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
38	37, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
39		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
40	39	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
41		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
42	40, 41	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
43	42, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
44	7, 17	ringcl 19981	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ (Base‘𝐶))
45	33, 38, 43, 44	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ (Base‘𝐶))
46	1, 2, 3, 7	cpmatel 22060	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
47	29, 31, 45, 46	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
48	27, 47	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
49	48	ralrimivva 3197	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℕcn 12153  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Ringcrg 19964  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   Mat cmat 21754   ConstPolyMat ccpmat 22052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-cpmat 22055

This theorem is referenced by:  cpmatsrgpmat  22070