Theorem cpmatmcl 22694

Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring 𝑅 is closed under multiplication. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
cpmatmcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem cpmatmcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
2		cpmatsrngpmat.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cpmatsrngpmat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	1, 2, 3	cpmatmcllem 22693	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅))
5	2	ply1ring 22221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6	5	ad4antlr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8	1, 2, 3, 7	cpmatpmat 22685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
9	8	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
10	1, 2, 3, 7	cpmatpmat 22685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
11	10	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
12	9, 11	anim12dan 620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)))
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
16	15	anim1i 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
18	3, 7, 17	matmulcell 22420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))
19	6, 14, 16, 18	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))
20	19	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗))))))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ ℕ) → (coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗))))))
22	21	fveq1d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ ℕ) → ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐))
23	22	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ ℕ) → (((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
24	23	ralbidva 3159	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
25	24	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
26	25	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑘)(.r‘𝑃)(𝑘𝑦𝑗)))))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
27	4, 26	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅))
28		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑁 ∈ Fin)
30		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32	2, 3	pmatring 22667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐶 ∈ Ring)
34		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
35	34	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
36		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑆))
38	37, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
39		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
40	39	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
41		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
42	40, 41	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
43	42, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
44	7, 17	ringcl 20222	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ (Base‘𝐶))
45	33, 38, 43, 44	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ (Base‘𝐶))
46	1, 2, 3, 7	cpmatel 22686	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
47	29, 31, 45, 46	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ((𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑐 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)𝑗))‘𝑐) = (0g‘𝑅)))
48	27, 47	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)
49	48	ralrimivva 3181	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝐶)𝑦) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℕcn 12165  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Ringcrg 20205  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151   Mat cmat 22382   ConstPolyMat ccpmat 22678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-psr 21899  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-mamu 22366  df-mat 22383  df-cpmat 22681

This theorem is referenced by:  cpmatsrgpmat  22696