Theorem mplmon2cl 21849

Description: A scaled monomial is a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon2cl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmon2cl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mplmon2cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplmon2cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmon2cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmon2cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
mplmon2cl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmon2cl	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon2cl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplmon2cl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mplmon2cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplmon2cl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
7		mplmon2cl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mplmon2cl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mplmon2cl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
10		mplmon2cl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mplmon2 21842	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
12	1	mpllmod 21797	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
13	7, 8, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
14	1, 7, 8	mplsca 21792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
15	14	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16	6, 15	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
17	10, 16	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
18		mplmon2cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
19	1, 18, 5, 4, 3, 7, 8, 9	mplmon 21810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵)
20		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22	18, 20, 2, 21	lmodvscl 20633	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
23	13, 17, 19, 22	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
24	11, 23	eqeltrrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  0_gc0g 17390  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  LModclmod 20615   mPoly cmpl 21679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-psr 21682  df-mpl 21684

This theorem is referenced by:  evlslem2  21862  evlslem3  21863