Theorem mplmon2cl 20829

Description: A scaled monomial is a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon2cl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmon2cl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mplmon2cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplmon2cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmon2cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmon2cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
mplmon2cl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmon2cl	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon2cl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2758	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplmon2cl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2758	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mplmon2cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplmon2cl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
7		mplmon2cl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mplmon2cl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mplmon2cl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
10		mplmon2cl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mplmon2 20822	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
12	1	mpllmod 20782	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
13	7, 8, 12	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
14	1, 7, 8	mplsca 20776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
15	14	fveq2d 6662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16	6, 15	syl5eq 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
17	10, 16	eleqtrd 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
18		mplmon2cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
19	1, 18, 5, 4, 3, 7, 8, 9	mplmon 20795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵)
20		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22	18, 20, 2, 21	lmodvscl 19719	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
23	13, 17, 19, 22	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
24	11, 23	eqeltrrd 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  ifcif 4420   ↦ cmpt 5112  ^◡ccnv 5523   “ cima 5527  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8416  Fincfn 8527  ℕcn 11674  ℕ₀cn0 11934  Basecbs 16541  Scalarcsca 16626   ·_𝑠 cvsca 16627  0_gc0g 16771  1_rcur 19319  Ringcrg 19365  LModclmod 19702   mPoly cmpl 20668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-tset 16642  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-psr 20671  df-mpl 20673

This theorem is referenced by:  evlslem2  20842  evlslem3  20843