Theorem mplmon2cl 22026

Description: A scaled monomial is a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon2cl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmon2cl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mplmon2cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplmon2cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmon2cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmon2cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
mplmon2cl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmon2cl	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon2cl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplmon2cl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mplmon2cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplmon2cl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
7		mplmon2cl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mplmon2cl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mplmon2cl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
10		mplmon2cl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mplmon2 22019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
12	1, 7, 8	mpllmodd 21984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
13	1, 7, 8	mplsca 21973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
14	13	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15	6, 14	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16	10, 15	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
17		mplmon2cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18	1, 17, 5, 4, 3, 7, 8, 9	mplmon 21993	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵)
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
21	17, 19, 2, 20	lmodvscl 20835	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
23	11, 22	eqeltrrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  ifcif 4500   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  LModclmod 20817   mPoly cmpl 21866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-psr 21869  df-mpl 21871

This theorem is referenced by:  evlslem2  22037  evlslem3  22038