Theorem mplmon2cl 22046

Description: A scaled monomial is a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon2cl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmon2cl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
mplmon2cl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplmon2cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmon2cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmon2cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
mplmon2cl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmon2cl	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon2cl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplmon2cl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mplmon2cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		mplmon2cl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑅)
7		mplmon2cl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		mplmon2cl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mplmon2cl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
10		mplmon2cl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mplmon2 22039	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
12	1, 7, 8	mpllmodd 22002	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
13	1, 7, 8	mplsca 21991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
14	13	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15	6, 14	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16	10, 15	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
17		mplmon2cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
18	1, 17, 5, 4, 3, 7, 8, 9	mplmon 22013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵)
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
21	17, 19, 2, 20	lmodvscl 20873	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 )) ∈ 𝐵) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, (1r‘𝑅), 0 ))) ∈ 𝐵)
23	11, 22	eqeltrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  LModclmod 20855   mPoly cmpl 21886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-psr 21889  df-mpl 21891

This theorem is referenced by:  evlslem2  22057  evlslem3  22058