Theorem mplcoe4 21279

Description: Decompose a polynomial into a finite sum of scaled monomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe4.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe4.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplcoe4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplcoe4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplcoe4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplcoe4	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑦   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑦   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑃,𝑘,𝑦   𝑅,𝑓,𝑘,𝑦   𝑦,𝑊,𝑘   𝑓,𝑋,𝑘,𝑦   0 ,𝑓,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplcoe4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplcoe4.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplcoe4.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		mplcoe4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mplcoe4.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mplcoe4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		mplcoe4.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mplcoe4.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mplcoe1 21238	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 ))))))
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑊)
13	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑘 ∈ 𝐷)
15	1, 11, 6, 2, 9	mplelf 21204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffvelrnda 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 7, 2, 4, 3, 11, 12, 13, 14, 16	mplmon2 21269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))
18	17	mpteq2dva 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 )))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 ))))
19	18	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 ))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))))
20	10, 19	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  ifcif 4459   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  1_rcur 19737  Ringcrg 19783   mPoly cmpl 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-psr 21112  df-mpl 21114

This theorem is referenced by:  evlslem2  21289