Theorem mplcoe4 22291

Description: Decompose a polynomial into a finite sum of scaled monomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplcoe4.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe4.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplcoe4.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplcoe4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplcoe4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplcoe4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplcoe4	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘,𝑦   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑦   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑃,𝑘,𝑦   𝑅,𝑓,𝑘,𝑦   𝑦,𝑊,𝑘   𝑓,𝑋,𝑘,𝑦   0 ,𝑓,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑦, 𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem mplcoe4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplcoe4.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplcoe4.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3		mplcoe4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		mplcoe4.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		mplcoe4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		mplcoe4.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		mplcoe4.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mplcoe1 22257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 ))))))
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑊)
13	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑘 ∈ 𝐷)
15	1, 11, 6, 2, 9	mplelf 22216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffvelcdmda 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 7, 2, 4, 3, 11, 12, 13, 14, 16	mplmon2 22281	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))
18	17	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 )))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 ))))
19	18	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑋‘𝑘)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (1r‘𝑅), 0 ))))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))))
20	10, 19	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑘, (𝑋‘𝑘), 0 )))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  1_rcur 20324  Ringcrg 20376   mPoly cmpl 22125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-mhm 18895  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-ghm 19345  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-psr 22128  df-mpl 22130

This theorem is used by:  evlslem2  22299