Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sclmul 20367
 Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sclmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t = (.r𝑃)
coe1sclmul.u · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sclmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1𝑌)))

Proof of Theorem coe1sclmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2 coe1sclmul.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 coe1sclmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2825 . . 3 (var1𝑅) = (var1𝑅)
5 eqid 2825 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
6 eqid 2825 . . 3 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7 eqid 2825 . . 3 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8 coe1sclmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 coe1sclmul.t . . 3 = (.r𝑃)
10 coe1sclmul.u . . 3 · = (.r𝑅)
11 simp3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
12 simp1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑋𝐾)
14 0nn0 11904 . . . 4 0 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15coe1tmmul 20362 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))))
17 coe1sclmul.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
182, 3, 4, 5, 6, 7, 17ply1scltm 20366 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
19183adant3 1126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
2019fvoveq1d 7173 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = (coe1‘((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌)))
21 nn0ex 11895 . . . . 5 0 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ℕ0 ∈ V)
23 simpl2 1186 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐾)
24 fvexd 6681 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑌)‘𝑥) ∈ V)
25 fconstmpt 5612 . . . . 5 (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋)
2625a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋))
27 eqid 2825 . . . . . . 7 (coe1𝑌) = (coe1𝑌)
2827, 8, 3, 2coe1f 20296 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (coe1𝑌):ℕ0𝐾)
29283ad2ant3 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1𝑌):ℕ0𝐾)
3029feqmptd 6729 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑌)‘𝑥)))
3122, 23, 24, 26, 30offval2 7419 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥))))
32 nn0ge0 11914 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
3332iftrued 4477 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅)) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))))
34 nn0cn 11899 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
3534subid1d 10978 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3635fveq2d 6670 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1𝑌)‘𝑥))
3736oveq2d 7167 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
3833, 37eqtrd 2860 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅)) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
3938mpteq2ia 5153 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
4031, 39syl6eqr 2878 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))))
4116, 20, 403eqtr4d 2870 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Vcvv 3499  ifcif 4469  {csn 4563   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142   × cxp 5551  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   ∘f cof 7400  0cc0 10529   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16475  .rcmulr 16558   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  .gcmg 18156  mulGrpcmgp 19161  Ringcrg 19219  algSccascl 20005  var1cv1 20261  Poly1cpl1 20262  coe1cco1 20263 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-subrg 19455  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-ascl 20008  df-psr 20057  df-mvr 20058  df-mpl 20059  df-opsr 20061  df-psr1 20265  df-vr1 20266  df-ply1 20267  df-coe1 20268 This theorem is referenced by:  coe1sclmulfv  20368  deg1mul3  24624  uc1pmon1p  24660
 Copyright terms: Public domain W3C validator