MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1sclmul 22025
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
coe1sclmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
coe1sclmul.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
coe1sclmul.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
coe1sclmul.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
coe1sclmul.u Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
coe1sclmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜π‘‹) βˆ™ π‘Œ)) = ((β„•0 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (coe1β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem coe1sclmul
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2 coe1sclmul.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
3 coe1sclmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 eqid 2731 . . 3 (var1β€˜π‘…) = (var1β€˜π‘…)
5 eqid 2731 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
6 eqid 2731 . . 3 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
7 eqid 2731 . . 3 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
8 coe1sclmul.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
9 coe1sclmul.t . . 3 βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
10 coe1sclmul.u . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
11 simp3 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
12 simp1 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
14 0nn0 12492 . . . 4 0 ∈ β„•0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ β„•0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15coe1tmmul 22020 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(var1β€˜π‘…))) βˆ™ π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(0 ≀ π‘₯, (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0))), (0gβ€˜π‘…))))
17 coe1sclmul.a . . . . 5 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
182, 3, 4, 5, 6, 7, 17ply1scltm 22024 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘‹) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(var1β€˜π‘…))))
19183adant3 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) = (𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(var1β€˜π‘…))))
2019fvoveq1d 7434 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜π‘‹) βˆ™ π‘Œ)) = (coe1β€˜((𝑋( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(var1β€˜π‘…))) βˆ™ π‘Œ)))
21 nn0ex 12483 . . . . 5 β„•0 ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ β„•0 ∈ V)
23 simpl2 1191 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
24 fvexd 6907 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) ∈ V)
25 fconstmpt 5739 . . . . 5 (β„•0 Γ— {𝑋}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑋)
2625a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (β„•0 Γ— {𝑋}) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑋))
27 eqid 2731 . . . . . . 7 (coe1β€˜π‘Œ) = (coe1β€˜π‘Œ)
2827, 8, 3, 2coe1f 21955 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜π‘Œ):β„•0⟢𝐾)
29283ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜π‘Œ):β„•0⟢𝐾)
3029feqmptd 6961 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜π‘Œ) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)))
3122, 23, 24, 26, 30offval2 7693 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((β„•0 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (coe1β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))))
32 nn0ge0 12502 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ π‘₯)
3332iftrued 4537 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ if(0 ≀ π‘₯, (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0))), (0gβ€˜π‘…)) = (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0))))
34 nn0cn 12487 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3534subid1d 11565 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
3635fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯))
3736oveq2d 7428 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0))) = (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)))
3833, 37eqtrd 2771 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ if(0 ≀ π‘₯, (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0))), (0gβ€˜π‘…)) = (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)))
3938mpteq2ia 5252 . . 3 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(0 ≀ π‘₯, (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0))), (0gβ€˜π‘…))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)))
4031, 39eqtr4di 2789 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((β„•0 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (coe1β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(0 ≀ π‘₯, (𝑋 Β· ((coe1β€˜π‘Œ)β€˜(π‘₯ βˆ’ 0))), (0gβ€˜π‘…))))
4116, 20, 403eqtr4d 2781 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜π‘‹) βˆ™ π‘Œ)) = ((β„•0 Γ— {𝑋}) ∘f Β· (coe1β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671  0cc0 11113   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•0cn0 12477  Basecbs 17149  .rcmulr 17203   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  .gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  algSccascl 21627  var1cv1 21920  Poly1cpl1 21921  coe1cco1 21922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927
This theorem is referenced by:  coe1sclmulfv  22026  deg1mul3  25866  uc1pmon1p  25902
  Copyright terms: Public domain W3C validator