Theorem coe1sclmul 22602

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))

Proof of Theorem coe1sclmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		coe1sclmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1sclmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		coe1sclmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1sclmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1sclmul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14		0nn0 12622	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15	coe1tmmul 22597	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∙ 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))))
17		coe1sclmul.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 17	ply1scltm 22601	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
19	18	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
20	19	fvoveq1d 7442	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = (coe1‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∙ 𝑌)))
21		nn0ex 12613	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
23		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
24		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘𝑥) ∈ V)
25		fconstmpt 5712	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋))
27		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
28	27, 8, 3, 2	coe1f 22530	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
30	29	feqmptd 6953	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
31	22, 23, 24, 26, 30	offval2 7713	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥))))
32		nn0ge0 12632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
33	32	iftrued 4489	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅)) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))))
34		nn0cn 12617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
35	34	subid1d 11659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
36	35	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1‘𝑌)‘𝑥))
37	36	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
38	33, 37	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅)) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
39	38	mpteq2ia 5199	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
40	31, 39	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))))
41	16, 20, 40	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ifcif 4481  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  0cc0 11201   ≤ cle 11345   − cmin 11542  ℕ₀cn0 12607  Basecbs 17388  ._rcmulr 17430   ·_𝑠 cvsca 17433  0_gc0g 17611  ._gcmg 19278  mulGrpcmgp 20361  Ringcrg 20460  algSccascl 22161  var₁cv1 22495  Poly₁cpl1 22496  coe₁cco1 22497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-ascl 22164  df-psr 22218  df-mvr 22219  df-mpl 22220  df-opsr 22222  df-psr1 22499  df-vr1 22500  df-ply1 22501  df-coe1 22502

This theorem is used by:  coe1sclmulfv  22603  deg1mul3  26435  uc1pmon1p  26471