Theorem coe1sclmul 21363

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))

Proof of Theorem coe1sclmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		coe1sclmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1sclmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		coe1sclmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1sclmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1sclmul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14		0nn0 12178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15	coe1tmmul 21358	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∙ 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))))
17		coe1sclmul.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 17	ply1scltm 21362	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
19	18	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
20	19	fvoveq1d 7277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = (coe1‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∙ 𝑌)))
21		nn0ex 12169	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
23		simpl2 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
24		fvexd 6771	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘𝑥) ∈ V)
25		fconstmpt 5640	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋))
27		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
28	27, 8, 3, 2	coe1f 21292	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
30	29	feqmptd 6819	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
31	22, 23, 24, 26, 30	offval2 7531	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥))))
32		nn0ge0 12188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
33	32	iftrued 4464	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅)) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))))
34		nn0cn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
35	34	subid1d 11251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
36	35	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1‘𝑌)‘𝑥))
37	36	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
38	33, 37	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅)) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
39	38	mpteq2ia 5173	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
40	31, 39	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))))
41	16, 20, 40	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  0cc0 10802   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  algSccascl 20969  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264

This theorem is referenced by:  coe1sclmulfv  21364  deg1mul3  25185  uc1pmon1p  25221