Theorem coe1sclmul 22275

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmul	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))

Proof of Theorem coe1sclmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		coe1sclmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1sclmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		coe1sclmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1sclmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1sclmul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14		0nn0 12450	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15	coe1tmmul 22270	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∙ 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))))
17		coe1sclmul.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 17	ply1scltm 22274	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
19	18	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
20	19	fvoveq1d 7385	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = (coe1‘((𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∙ 𝑌)))
21		nn0ex 12441	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
23		simpl2 1199	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
24		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘𝑥) ∈ V)
25		fconstmpt 5687	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋))
27		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
28	27, 8, 3, 2	coe1f 22203	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
30	29	feqmptd 6902	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
31	22, 23, 24, 26, 30	offval2 7647	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥))))
32		nn0ge0 12460	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
33	32	iftrued 4469	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅)) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))))
34		nn0cn 12445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
35	34	subid1d 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
36	35	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1‘𝑌)‘𝑥))
37	36	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
38	33, 37	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅)) = (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
39	38	mpteq2ia 5174	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
40	31, 39	eqtr4di 2793	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g‘𝑅))))
41	16, 20, 40	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝑋) ∙ 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘f · (coe1‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ifcif 4461  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  0cc0 11036   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕ₀cn0 12435  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  ._gcmg 19041  mulGrpcmgp 20119  Ringcrg 20212  algSccascl 21834  var₁cv1 22168  Poly₁cpl1 22169  coe₁cco1 22170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-coe1 22175

This theorem is referenced by:  coe1sclmulfv  22276  deg1mul3  26106  uc1pmon1p  26142