Theorem coe1sclmul2 22176

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmul2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋))) = ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})))

Proof of Theorem coe1sclmul2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		coe1sclmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1sclmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		coe1sclmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1sclmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1sclmul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14		0nn0 12463	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15	coe1tmmul2 22168	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅))))
17		coe1sclmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 17	ply1scltm 22173	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
19	18	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
20	19	oveq2d 7405	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋)) = (𝑌 ∙ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
21	20	fveq2d 6864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋))) = (coe1‘(𝑌 ∙ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
22		nn0ex 12454	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
24		fvexd 6875	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘𝑥) ∈ V)
25		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
27	26, 8, 3, 2	coe1f 22102	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
28	27	feqmptd 6931	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
29	28	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
30		fconstmpt 5702	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋)
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋))
32	23, 24, 25, 29, 31	offval2 7675	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋)))
33		nn0ge0 12473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
34	33	iftrued 4498	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅)) = (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋))
35		nn0cn 12458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
36	35	subid1d 11528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
37	36	fveq2d 6864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1‘𝑌)‘𝑥))
38	37	oveq1d 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋) = (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
39	34, 38	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅)) = (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
40	39	mpteq2ia 5204	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
41	32, 40	eqtr4di 2783	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅))))
42	16, 21, 41	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋))) = ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ifcif 4490  {csn 4591   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∘_f cof 7653  0cc0 11074   ≤ cle 11215   − cmin 11411  ℕ₀cn0 12448  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17408  ._gcmg 19005  mulGrpcmgp 20055  Ringcrg 20148  algSccascl 21767  var₁cv1 22066  Poly₁cpl1 22067  coe₁cco1 22068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-sup 9399  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-prds 17416  df-pws 17418  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-ascl 21770  df-psr 21824  df-mvr 21825  df-mpl 21826  df-opsr 21828  df-psr1 22070  df-vr1 22071  df-ply1 22072  df-coe1 22073

This theorem is referenced by: (None)