Theorem coe1sclmul2 22199

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1sclmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1sclmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1sclmul.u	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1sclmul2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋))) = ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})))

Proof of Theorem coe1sclmul2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		coe1sclmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		coe1sclmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		coe1sclmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1sclmul.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
10		coe1sclmul.u	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐾)
14		0nn0 12403	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15	coe1tmmul2 22191	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅))))
17		coe1sclmul.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 17	ply1scltm 22196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
19	18	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
20	19	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋)) = (𝑌 ∙ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
21	20	fveq2d 6832	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋))) = (coe1‘(𝑌 ∙ (𝑋( ·𝑠 ‘𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
22		nn0ex 12394	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
24		fvexd 6843	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝑌)‘𝑥) ∈ V)
25		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (coe1‘𝑌) = (coe1‘𝑌)
27	26, 8, 3, 2	coe1f 22125	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌):ℕ0⟶𝐾)
28	27	feqmptd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
29	28	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1‘𝑌)‘𝑥)))
30		fconstmpt 5681	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋)
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑋))
32	23, 24, 25, 29, 31	offval2 7636	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋)))
33		nn0ge0 12413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
34	33	iftrued 4482	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅)) = (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋))
35		nn0cn 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℂ)
36	35	subid1d 11468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
37	36	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1‘𝑌)‘𝑥))
38	37	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋) = (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
39	34, 38	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅)) = (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
40	39	mpteq2ia 5188	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
41	32, 40	eqtr4di 2786	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1‘𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g‘𝑅))))
42	16, 21, 41	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝑌 ∙ (𝐴‘𝑋))) = ((coe1‘𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ifcif 4474  {csn 4575   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614  0cc0 11013   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℕ₀cn0 12388  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164   ·_𝑠 cvsca 17167  0_gc0g 17345  ._gcmg 18982  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  algSccascl 21791  var₁cv1 22089  Poly₁cpl1 22090  coe₁cco1 22091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096

This theorem is referenced by: (None)