MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sclmul2 22127
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sclmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t = (.r𝑃)
coe1sclmul.u · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sclmul2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘(𝑌 (𝐴𝑋))) = ((coe1𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})))

Proof of Theorem coe1sclmul2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2 coe1sclmul.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 coe1sclmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2724 . . 3 (var1𝑅) = (var1𝑅)
5 eqid 2724 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
6 eqid 2724 . . 3 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7 eqid 2724 . . 3 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8 coe1sclmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 coe1sclmul.t . . 3 = (.r𝑃)
10 coe1sclmul.u . . 3 · = (.r𝑅)
11 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
12 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑋𝐾)
14 0nn0 12485 . . . 4 0 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15coe1tmmul2 22119 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘(𝑌 (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g𝑅))))
17 coe1sclmul.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
182, 3, 4, 5, 6, 7, 17ply1scltm 22124 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
19183adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
2019oveq2d 7418 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑌 (𝐴𝑋)) = (𝑌 (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅)))))
2120fveq2d 6886 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘(𝑌 (𝐴𝑋))) = (coe1‘(𝑌 (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))))
22 nn0ex 12476 . . . . 5 0 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ℕ0 ∈ V)
24 fvexd 6897 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑌)‘𝑥) ∈ V)
25 simpl2 1189 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐾)
26 eqid 2724 . . . . . . 7 (coe1𝑌) = (coe1𝑌)
2726, 8, 3, 2coe1f 22055 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (coe1𝑌):ℕ0𝐾)
2827feqmptd 6951 . . . . 5 (𝑌𝐵 → (coe1𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑌)‘𝑥)))
29283ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑌)‘𝑥)))
30 fconstmpt 5729 . . . . 5 (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋)
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋))
3223, 24, 25, 29, 31offval2 7684 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((coe1𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝑌)‘𝑥) · 𝑋)))
33 nn0ge0 12495 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
3433iftrued 4529 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g𝑅)) = (((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋))
35 nn0cn 12480 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
3635subid1d 11558 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3736fveq2d 6886 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1𝑌)‘𝑥))
3837oveq1d 7417 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → (((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋) = (((coe1𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
3934, 38eqtrd 2764 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g𝑅)) = (((coe1𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
4039mpteq2ia 5242 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝑌)‘𝑥) · 𝑋))
4132, 40eqtr4di 2782 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((coe1𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) · 𝑋), (0g𝑅))))
4216, 21, 413eqtr4d 2774 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘(𝑌 (𝐴𝑋))) = ((coe1𝑌) ∘f · (ℕ0 × {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  ifcif 4521  {csn 4621   class class class wbr 5139  cmpt 5222   × cxp 5665  cfv 6534  (class class class)co 7402  f cof 7662  0cc0 11107  cle 11247  cmin 11442  0cn0 12470  Basecbs 17145  .rcmulr 17199   ·𝑠 cvsca 17202  0gc0g 17386  .gcmg 18987  mulGrpcmgp 20031  Ringcrg 20130  algSccascl 21717  var1cv1 22020  Poly1cpl1 22021  coe1cco1 22022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-ascl 21720  df-psr 21773  df-mvr 21774  df-mpl 21775  df-opsr 21777  df-psr1 22024  df-vr1 22025  df-ply1 22026  df-coe1 22027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator