MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply2OLD 26410
Description: Obsolete version of taylply2 26409 as of 30-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2 (𝜑𝐵𝐷)
taylply2.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
taylply2OLD (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2OLD
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 taylpfval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6 taylpfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 26406 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 cnex 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 elpm2r 8885 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13 dvnbss 25964 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
141, 12, 4, 13syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
152, 14fssdmd 6754 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
16 recnprss 25939 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
183, 17sstrd 3994 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1915, 18sstrd 3994 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
2019, 5sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
228, 21subcld 11620 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
23 df-idp 26228 . . . . . . . 8 Xp = ( I ↾ ℂ)
24 mptresid 6069 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2523, 24eqtri 2765 . . . . . . 7 Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
27 fconstmpt 5747 . . . . . . 7 (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
2910, 8, 21, 26, 28offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵)))
30 eqidd 2738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
31 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
3231oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3332sumeq2sdv 15739 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3422, 29, 30, 33fmptco 7149 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
357, 34eqtr4d 2780 . . 3 (𝜑𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))))
36 taylply2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
37 cnfldbas 21368 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
3837subrgss 20572 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
3936, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
40 taylply2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
4139, 4, 40elplyd 26241 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
42 cnfld1 21406 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4342subrg1cl 20580 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
4436, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
45 plyid 26248 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
4639, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑Xp ∈ (Poly‘𝐷))
47 taylply2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
48 plyconst 26245 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
4939, 47, 48syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
50 subrgsubg 20577 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5136, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
52 cnfldadd 21370 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
5352subgcl 19154 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54533expb 1121 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5551, 54sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56 cnfldmul 21372 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
5756subrgmcl 20584 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
58573expb 1121 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
5936, 58sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
60 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
61 cnfldneg 21408 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
63 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
6463subginvcl 19153 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6551, 44, 64syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6662, 65eqeltrrid 2846 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
6746, 49, 55, 59, 66plysub 26258 . . . 4 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
6841, 67, 55, 59plyco 26280 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
6935, 68eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
7035fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵})))))
71 eqid 2737 . . . . 5 (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
72 eqid 2737 . . . . 5 (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))
7371, 72, 41, 67dgrco 26315 . . . 4 (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))))
74 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Xpf − (ℂ × {𝐵})) = (Xpf − (ℂ × {𝐵}))
7574plyremlem 26346 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7620, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7776simp2d 1144 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
7877oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1))
79 dgrcl 26272 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8041, 79syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 12589 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℂ)
8281mulridd 11278 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8378, 82eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8470, 73, 833eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
851adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8612adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
87 elfznn0 13660 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8887adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89 dvnf 25963 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
9085, 86, 88, 89syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
91 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
92 dvn2bss 25966 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9385, 86, 91, 92syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
945adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
9593, 94sseldd 3984 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9690, 95ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
9788faccld 14323 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
9897nncnd 12282 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9997nnne0d 12316 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
10096, 98, 99divcld 12043 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10141, 4, 100, 30dgrle 26282 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ≤ 𝑁)
10284, 101eqbrtrd 5165 . 2 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
10369, 102jca 511 1 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  pm cpm 8867  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  0cn0 12526  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  Σcsu 15722  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  SubRingcsubrg 20569  fldccnfld 21364   D𝑛 cdvn 25899  Polycply 26223  Xpcidp 26224  degcdgr 26226   Tayl ctayl 26394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-xms 24330  df-ms 24331  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-tayl 26396
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator