Theorem indprm 48086

Description: An indicator function for prime numbers, according to Ján Mináč. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indprm	⊢ ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Proof of Theorem indprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6854	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘2) ∈ V
2		prmssuz2 16666	. . 3 ⊢ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)
3		indval 12162	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘2) ∈ V ∧ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)) → ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0)))
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0))
5		ppivalnnprm 48082	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
7	6	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
8		df-nel 3038	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
9		ppivalnnnprm 48085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
10	8, 9	sylan2br 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
11	10	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 0 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
12	7, 11	ifeqda 4504	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
13	12	mpteq2ia 5181	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
14	4, 13	eqtri 2760	1 ⊢ ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377   / cdiv 11807  𝟭cind 12159  2c2 12236  ℤ_≥cuz 12788  ⌊cfl 13749  !cfa 14235  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by: (None)