Theorem indprm 48348

Description: An indicator function for prime numbers, according to Ján Mináč. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indprm	⊢ ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Proof of Theorem indprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘2) ∈ V
2		prmssuz2 16754	. . 3 ⊢ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)
3		indval 12220	. . 3 ⊢ (((ℤ≥‘2) ∈ V ∧ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)) → ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0)))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0))
5		ppivalnnprm 48344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
7	6	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
8		df-nel 3063	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
9		ppivalnnnprm 48347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
10	8, 9	sylan2br 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
11	10	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 0 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
12	7, 11	ifeqda 4523	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) → if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
13	12	mpteq2ia 5205	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
14	4, 13	eqtri 2784	1 ⊢ ((𝟭‘(ℤ≥‘2))‘ℙ) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3062  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ifcif 4486   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   − cmin 11440   / cdiv 11870  𝟭cind 12217  2c2 12294  ℤ_≥cuz 12861  ⌊cfl 13823  !cfa 14309  ℙcprime 16728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-ind 12218  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-phi 16824  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-cnfld 21502

This theorem is referenced by: (None)