Theorem indprmfz 48920

Description: An indicator function for prime numbers in a finite interval of integers, according to Ján Mináč. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indprmfz.i	⊢ 𝐼 = (2...𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indprmfz	⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem indprmfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indprmfz.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (2...𝐴)
2	1	ovexi 7477	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		inss1 4136	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼
4		indval 12350	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0))
6		elin 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
7		ppivalnnprm 48915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
9	8	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
10	6, 9	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
12		elfzuz 13679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (2...𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
13	12, 1	eleq2s 2882	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
14	6	biimpri 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ))
15	14	stoic1a 1805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
16		df-nel 3066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 𝑘 ∉ ℙ)
18		ppivalnnnprm 48918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
19	13, 17, 18	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
20	19	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 0 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
21	11, 20	ifeqda 4522	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
22	21	mpteq2ia 5203	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
23	5, 22	eqtri 2786	1 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ifcif 4485   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   − cmin 11568   / cdiv 12000  𝟭cind 12347  2c2 12424  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666  ⌊cfl 13957  !cfa 14444  ℙcprime 16875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-ind 12348  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-phi 16972  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-cnfld 21709

This theorem is used by:  ppivalnn  48922