Theorem indprmfz 48192

Description: An indicator function for prime numbers in a finite interval of integers, according to Ján Mináč. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indprmfz.i	⊢ 𝐼 = (2...𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indprmfz	⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem indprmfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indprmfz.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (2...𝐴)
2	1	ovexi 7424	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		inss1 4188	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼
4		indval 12193	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)))
5	2, 3, 4	mp2an 702	. 2 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0))
6		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
7		ppivalnnprm 48187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
9	8	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
10	6, 9	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
11	10	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
12		elfzuz 13520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (2...𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
13	12, 1	eleq2s 2879	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
14	6	biimpri 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ))
15	14	stoic1a 1791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
16		df-nel 3061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
17	15, 16	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 𝑘 ∉ ℙ)
18		ppivalnnnprm 48190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
19	13, 17, 18	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
20	19	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 0 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
21	11, 20	ifeqda 4516	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
22	21	mpteq2ia 5194	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
23	5, 22	eqtri 2784	1 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ifcif 4479   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11409   / cdiv 11839  𝟭cind 12190  2c2 12267  ℤ_≥cuz 12834  ...cfz 13507  ⌊cfl 13795  !cfa 14281  ℙcprime 16686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9303  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9453  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11840  df-ind 12191  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12684  df-uz 12835  df-rp 12989  df-ico 13350  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14010  df-exp 14070  df-fac 14282  df-bc 14311  df-hash 14339  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-dvds 16268  df-gcd 16510  df-prm 16687  df-phi 16782  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-starv 17282  df-tset 17286  df-ple 17287  df-ds 17289  df-unif 17290  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mre 17595  df-mrc 17596  df-acs 17598  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-submnd 18799  df-grp 18959  df-minusg 18960  df-mulg 19091  df-subg 19146  df-cntz 19338  df-cmn 19803  df-abl 19804  df-mgp 20168  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20573  df-subrg 20597  df-cnfld 21403

This theorem is referenced by:  ppivalnn  48194