Theorem indprmfz 48090

Description: An indicator function for prime numbers in a finite interval of integers, according to Ján Mináč. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indprmfz.i	⊢ 𝐼 = (2...𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indprmfz	⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem indprmfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indprmfz.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (2...𝐴)
2	1	ovexi 7392	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		inss1 4178	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼
4		indval 12151	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. 2 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0))
6		elin 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
7		ppivalnnprm 48085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
9	8	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
10	6, 9	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
12		elfzuz 13463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (2...𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
13	12, 1	eleq2s 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
14	6	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ))
15	14	stoic1a 1774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
16		df-nel 3038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
17	15, 16	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 𝑘 ∉ ℙ)
18		ppivalnnnprm 48088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
19	13, 17, 18	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
20	19	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 0 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
21	11, 20	ifeqda 4504	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
22	21	mpteq2ia 5181	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
23	5, 22	eqtri 2760	1 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   − cmin 11366   / cdiv 11796  𝟭cind 12148  2c2 12225  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ⌊cfl 13738  !cfa 14224  ℙcprime 16629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-ind 12149  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-prm 16630  df-phi 16725  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-cnfld 21343

This theorem is referenced by:  ppivalnn  48092