Theorem indprmfz 48109

Description: An indicator function for prime numbers in a finite interval of integers, according to Ján Mináč. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indprmfz.i	⊢ 𝐼 = (2...𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indprmfz	⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem indprmfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indprmfz.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (2...𝐴)
2	1	ovexi 7397	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		inss1 4172	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼
4		indval 12160	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)))
5	2, 3, 4	mp2an 698	. 2 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0))
6		elin 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
7		ppivalnnprm 48104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
9	8	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
10	6, 9	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
12		elfzuz 13472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (2...𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
13	12, 1	eleq2s 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
14	6	biimpri 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ))
15	14	stoic1a 1779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
16		df-nel 3040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
17	15, 16	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 𝑘 ∉ ℙ)
18		ppivalnnnprm 48107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
19	13, 17, 18	syl2an2r 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
20	19	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 0 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
21	11, 20	ifeqda 4498	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
22	21	mpteq2ia 5174	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
23	5, 22	eqtri 2763	1 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3039  Vcvv 3432   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ifcif 4461   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   − cmin 11375   / cdiv 11805  𝟭cind 12157  2c2 12234  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ⌊cfl 13747  !cfa 14233  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-ind 12158  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-phi 16734  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-cnfld 21355

This theorem is referenced by:  ppivalnn  48111