Theorem indprmfz 48535

Description: An indicator function for prime numbers in a finite interval of integers, according to Ján Mináč. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
indprmfz.i	⊢ 𝐼 = (2...𝐴)

Assertion

Ref	Expression
indprmfz	⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

Distinct variable group:   𝑘,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem indprmfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indprmfz.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (2...𝐴)
2	1	ovexi 7450	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		inss1 4185	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼
4		indval 12248	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ ℙ) ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0))
6		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) ↔ (𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ))
7		ppivalnnprm 48530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 1)
9	8	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
10	6, 9	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 1 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
12		elfzuz 13576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (2...𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
13	12, 1	eleq2s 2880	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
14	6	biimpri 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ))
15	14	stoic1a 1805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
16		df-nel 3064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑘 ∈ ℙ)
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 𝑘 ∉ ℙ)
18		ppivalnnnprm 48533	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
19	13, 17, 18	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))) = 0)
20	19	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ)) → 0 = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
21	11, 20	ifeqda 4522	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 → if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0) = (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
22	21	mpteq2ia 5204	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑘 ∈ (𝐼 ∩ ℙ), 1, 0)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))
23	5, 22	eqtri 2785	1 ⊢ ((𝟭‘𝐼)‘(𝐼 ∩ ℙ)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (⌊‘((((!‘(𝑘 − 1)) + 1) / 𝑘) − (⌊‘((!‘(𝑘 − 1)) / 𝑘)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11468   / cdiv 11898  𝟭cind 12245  2c2 12322  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13563  ⌊cfl 13853  !cfa 14339  ℙcprime 16765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-ind 12246  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-phi 16861  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-cring 20379  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-cnfld 21590

This theorem is used by:  ppivalnn  48537