Theorem ragraghl 29180

Description: Drawing two right angles at a point 𝑋 on the same side of a line (𝑋𝐿𝑌) leads to points 𝑊 and 𝑍 on the same ray from 𝑋. Theorem 11.19 of [Schwabhauser] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ragraghl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ragraghl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ragraghl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ragraghl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ragraghl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ragraghl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
ragraghl.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
ragraghl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
ragraghl.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragraghl.4	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑊”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragraghl.5	⊢ (𝜑 → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑌𝐿𝑋))𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ragraghl	⊢ (𝜑 → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑋)𝑊)

Proof of Theorem ragraghl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ragraghl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ragraghl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ragraghl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		ragraghl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		ragraghl.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		ragraghl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
9		ragraghl.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11		ragraghl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12		ragraghl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
13	12	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
14	1, 2, 9, 4, 5, 6, 13	tglinerflx2 28938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
15		eleq1w 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))))
16		eleq1w 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))))
17	15, 16	bi2anan9 650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)))))
18		oveq12 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
19	18	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
20	19	rexbidv 3191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
21		eleq1w 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
22	21	cbvrexvw 3246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
23	20, 22	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
24	17, 23	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
25	24	cbvopabv 5186	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
26	1, 2, 9, 4, 5, 6, 13	tgelrnln 28934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
27		ragraghl.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑌𝐿𝑋))𝑊)
28	1, 2, 9, 25, 4, 26, 7, 8, 27	hpgne1 29074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
29		nelne2 3058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
30	14, 28, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
31	30	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
32	1, 3, 2, 9, 10, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 31	ragncol 29020	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋))
33	1, 9, 2, 4, 5, 6, 7, 32	ncolrot1 28862	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
34		ragraghl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑊”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
35	1, 2, 9, 25, 4, 26, 7, 8, 27	hpgne2 29075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
36		nelne2 3058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∧ ¬ 𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑋)) → 𝑋 ≠ 𝑊)
37	14, 35, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑊)
38	37	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑋)
39	1, 3, 2, 9, 10, 4, 5, 6, 8, 34, 13, 38	ragncol 29020	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋))
40	1, 9, 2, 4, 5, 6, 8, 39	ncolrot1 28862	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑊) ∨ 𝑋 = 𝑊))
41		eqid 2765	. 2 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
42	1, 2, 4, 41, 5, 6, 7, 13, 30	cgraid 29161	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩)
43	1, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 8, 11, 34, 13, 37, 13, 30	ragcgra 29177	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝑋𝑊”⟩)
44	1, 2, 9, 4, 26, 8, 25, 35	hpgid 29079	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊((hpG‘𝐺)‘(𝑌𝐿𝑋))𝑊)
45	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 8, 9, 33, 40, 7, 8, 41, 42, 43, 27, 44	acopyeu 29176	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑋)𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   class class class wbr 5111  {copab 5175  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ⟨“cs3 14899  Basecbs 17287  distcds 17337  TarskiGcstrkg 28727  Itvcitv 28733  LineGclng 28734  hlGchlg 28900  pInvGcmir 28960  ∟Gcrag 29004  hpGchpg 29070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-hash 14381  df-word 14565  df-concat 14622  df-s1 14649  df-s2 14905  df-s3 14906  df-trkgc 28748  df-trkgb 28749  df-trkgcb 28750  df-trkgld 28752  df-trkg 28753  df-cgrg 28811  df-ismt 28833  df-leg 28883  df-hlg 28901  df-mir 28961  df-rag 29005  df-perpg 29007  df-hpg 29071  df-mid 29114  df-lmi 29115  df-cgra 29150

This theorem is used by:  perpeqlem  29181