Theorem ragraghl 29403

Description: Drawing two right angles at a point 𝑋 on the same side of a line (𝑋𝐿𝑌) leads to points 𝑊 and 𝑍 on the same ray from 𝑋. Theorem 11.19 of [Schwabhauser] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ragraghl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ragraghl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
ragraghl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ragraghl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ragraghl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ragraghl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
ragraghl.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
ragraghl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
ragraghl.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragraghl.4	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑊”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
ragraghl.5	⊢ (𝜑 → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑌𝐿𝑋))𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ragraghl	⊢ (𝜑 → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑋)𝑊)

Proof of Theorem ragraghl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ragraghl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ragraghl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ragraghl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
6		ragraghl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		ragraghl.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		ragraghl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
9		ragraghl.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11		ragraghl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
12		ragraghl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
13	12	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
14	1, 2, 9, 4, 5, 6, 13	tglinerflx2 29159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
15		eleq1w 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))))
16		eleq1w 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))))
17	15, 16	bi2anan9 650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)))))
18		oveq12 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
19	18	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
20	19	rexbidv 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
21		eleq1w 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ 𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
22	21	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
23	20, 22	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
24	17, 23	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
25	24	cbvopabv 5184	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑠 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑋))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑌𝐿𝑋)𝑡 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
26	1, 2, 9, 4, 5, 6, 13	tgelrnln 29155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑋) ∈ ran 𝐿)
27		ragraghl.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍((hpG‘𝐺)‘(𝑌𝐿𝑋))𝑊)
28	1, 2, 9, 25, 4, 26, 7, 8, 27	hpgne1 29296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
29		nelne2 3057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋)) → 𝑋 ≠ 𝑍)
30	14, 28, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
31	30	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
32	1, 3, 2, 9, 10, 4, 5, 6, 7, 11, 13, 31	ragncol 29241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋))
33	1, 9, 2, 4, 5, 6, 7, 32	ncolrot1 29082	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
34		ragraghl.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑊”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
35	1, 2, 9, 25, 4, 26, 7, 8, 27	hpgne2 29297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
36		nelne2 3057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∧ ¬ 𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑋)) → 𝑋 ≠ 𝑊)
37	14, 35, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑊)
38	37	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑋)
39	1, 3, 2, 9, 10, 4, 5, 6, 8, 34, 13, 38	ragncol 29241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑋) ∨ 𝑌 = 𝑋))
40	1, 9, 2, 4, 5, 6, 8, 39	ncolrot1 29082	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑊) ∨ 𝑋 = 𝑊))
41		eqid 2763	. 2 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
42	1, 2, 4, 41, 5, 6, 7, 13, 30	cgraid 29383	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩)
43	1, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 8, 11, 34, 13, 37, 13, 30	ragcgra 29400	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌𝑋𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑌𝑋𝑊”⟩)
44	1, 2, 9, 4, 26, 8, 25, 35	hpgid 29301	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊((hpG‘𝐺)‘(𝑌𝐿𝑋))𝑊)
45	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 8, 9, 33, 40, 7, 8, 41, 42, 43, 27, 44	acopyeu 29399	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑋)𝑊)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5108  {copab 5173  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ⟨“cs3 15035  Basecbs 17431  distcds 17481  TarskiGcstrkg 28946  Itvcitv 28952  LineGclng 28953  hlGchlg 29120  pInvGcmir 29181  ∟Gcrag 29225  hpGchpg 29292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-s3 15042  df-trkgc 28967  df-trkgb 28968  df-trkgcb 28969  df-trkgld 28971  df-trkg 28972  df-cgrg 29031  df-ismt 29053  df-leg 29103  df-hlg 29121  df-mir 29182  df-rag 29226  df-perpg 29228  df-hpg 29293  df-mid 29336  df-lmi 29337  df-cgra 29372

This theorem is used by:  perpeqlem  29404