Theorem sge0isummpt2 42721

Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0isummpt2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0isummpt2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0isummpt2.b	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0isummpt2	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0isummpt2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		sge0isummpt2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4		sge0isummpt2.kph	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		nfcv 2979	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	7	nfcsb1 3908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
9	8	nfel1 2996	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)
10	6, 9	nfim 1897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11		eleq1w 2897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
12	11	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
13		csbeq1a 3899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16		sge0isummpt2.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
17	10, 15, 16	chvarfv 2242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18		nfcv 2979	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐴
19		nfcsb1v 3909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴
20		csbeq1a 3899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
21	18, 19, 20	cbvmpt 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
22	21	eqcomi 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
23	7, 8, 13, 22	fvmptf 6791	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
24	3, 17, 23	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
25		rge0ssre 12847	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26		ax-resscn 10596	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	25, 26	sstri 3978	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
28	27, 17	sseldi 3967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
29		sge0isummpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)
30	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴))
31	30	seqeq3d 13380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)))
32	31	breq1d 5078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵))
33	29, 32	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵)
34	1, 2, 24, 28, 33	isumclim 15114	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
35		nfcv 2979	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝑍
36		nfcv 2979	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
37		nfcv 2979	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
38	13, 35, 36, 37, 8	cbvsum 15054	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
39	38	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	4, 16, 2, 1, 29	sge0isummpt 42719	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = 𝐵)
41	34, 39, 40	3eqtr4rd 2869	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3885   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539   + caddc 10542  +∞cpnf 10674  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  [,)cico 12743  seqcseq 13372   ⇝ cli 14843  Σcsu 15044  Σ^{^}csumge0 42651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-sumge0 42652

This theorem is referenced by: (None)