Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0isummpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0isummpt2 44759
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isummpt2.kph 𝑘𝜑
sge0isummpt2.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isummpt2.b (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isummpt2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isummpt2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0isummpt2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4 sge0isummpt2.kph . . . . . . 7 𝑘𝜑
5 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1903 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
87nfcsb1 3880 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
98nfel1 2920 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)
106, 9nfim 1900 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11 eleq1w 2817 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1211anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
13 csbeq1a 3870 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1512, 14imbi12d 345 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16 sge0isummpt2.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
1710, 15, 16chvarfv 2234 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑖𝐴
19 nfcsb1v 3881 . . . . . . 7 𝑘𝑖 / 𝑘𝐴
20 csbeq1a 3870 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
2118, 19, 20cbvmpt 5217 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)
2221eqcomi 2742 . . . . 5 (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
237, 8, 13, 22fvmptf 6970 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
243, 17, 23syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
25 rge0ssre 13379 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 ax-resscn 11113 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
2725, 26sstri 3954 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
2827, 17sselid 3943 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
29 sge0isummpt2.b . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
3021a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴))
3130seqeq3d 13920 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)))
3231breq1d 5116 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵))
3329, 32mpbid 231 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵)
341, 2, 24, 28, 33isumclim 15647 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
35 nfcv 2904 . . . 4 𝑗𝑍
36 nfcv 2904 . . . 4 𝑘𝑍
37 nfcv 2904 . . . 4 𝑗𝐴
3813, 35, 36, 37, 8cbvsum 15585 . . 3 Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴
3938a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴)
404, 16, 2, 1, 29sge0isummpt 44757 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = 𝐵)
4134, 39, 403eqtr4rd 2784 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  csb 3856   class class class wbr 5106  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059  +∞cpnf 11191  cz 12504  cuz 12768  [,)cico 13272  seqcseq 13912  cli 15372  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator