Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0isummpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0isummpt2 45138
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isummpt2.kph 𝑘𝜑
sge0isummpt2.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isummpt2.b (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isummpt2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isummpt2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0isummpt2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4 sge0isummpt2.kph . . . . . . 7 𝑘𝜑
5 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1902 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
87nfcsb1 3917 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
98nfel1 2919 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)
106, 9nfim 1899 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11 eleq1w 2816 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1211anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
13 csbeq1a 3907 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1512, 14imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16 sge0isummpt2.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
1710, 15, 16chvarfv 2233 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑖𝐴
19 nfcsb1v 3918 . . . . . . 7 𝑘𝑖 / 𝑘𝐴
20 csbeq1a 3907 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
2118, 19, 20cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)
2221eqcomi 2741 . . . . 5 (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
237, 8, 13, 22fvmptf 7019 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
243, 17, 23syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
25 rge0ssre 13432 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 ax-resscn 11166 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
2725, 26sstri 3991 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
2827, 17sselid 3980 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
29 sge0isummpt2.b . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
3021a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴))
3130seqeq3d 13973 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)))
3231breq1d 5158 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵))
3329, 32mpbid 231 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵)
341, 2, 24, 28, 33isumclim 15702 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
35 nfcv 2903 . . . 4 𝑗𝑍
36 nfcv 2903 . . . 4 𝑘𝑍
37 nfcv 2903 . . . 4 𝑗𝐴
3813, 35, 36, 37, 8cbvsum 15640 . . 3 Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴
3938a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴)
404, 16, 2, 1, 29sge0isummpt 45136 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = 𝐵)
4134, 39, 403eqtr4rd 2783 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  csb 3893   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7408  cc 11107  cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  +∞cpnf 11244  cz 12557  cuz 12821  [,)cico 13325  seqcseq 13965  cli 15427  Σcsu 15631  Σ^csumge0 45068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-sumge0 45069
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator