Theorem sge0isummpt2 45879

Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0isummpt2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0isummpt2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0isummpt2.b	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0isummpt2	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0isummpt2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		sge0isummpt2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4		sge0isummpt2.kph	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	7	nfcsb1 3910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
9	8	nfel1 2909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)
10	6, 9	nfim 1891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11		eleq1w 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
12	11	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
13		csbeq1a 3900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
15	12, 14	imbi12d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16		sge0isummpt2.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
17	10, 15, 16	chvarfv 2228	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18		nfcv 2892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐴
19		nfcsb1v 3911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴
20		csbeq1a 3900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
21	18, 19, 20	cbvmpt 5255	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
22	21	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
23	7, 8, 13, 22	fvmptf 7019	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
24	3, 17, 23	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
25		rge0ssre 13460	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26		ax-resscn 11190	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	25, 26	sstri 3983	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
28	27, 17	sselid 3971	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
29		sge0isummpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)
30	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴))
31	30	seqeq3d 14001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)))
32	31	breq1d 5154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵))
33	29, 32	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵)
34	1, 2, 24, 28, 33	isumclim 15730	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
35		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝑍
36		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
37		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
38	13, 35, 36, 37, 8	cbvsum 15668	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
39	38	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	4, 16, 2, 1, 29	sge0isummpt 45877	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = 𝐵)
41	34, 39, 40	3eqtr4rd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ⦋csb 3886   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133   + caddc 11136  +∞cpnf 11270  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847  [,)cico 13353  seqcseq 13993   ⇝ cli 15455  Σcsu 15659  Σ^{^}csumge0 45809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-sumge0 45810

This theorem is referenced by: (None)