Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0isummpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0isummpt2 46387
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isummpt2.kph 𝑘𝜑
sge0isummpt2.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isummpt2.b (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isummpt2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isummpt2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0isummpt2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4 sge0isummpt2.kph . . . . . . 7 𝑘𝜑
5 nfv 1911 . . . . . . 7 𝑘 𝑗𝑍
64, 5nfan 1896 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
7 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑘𝑗
87nfcsb1 3931 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
98nfel1 2919 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)
106, 9nfim 1893 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11 eleq1w 2821 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1211anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
13 csbeq1a 3921 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
1413eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
1512, 14imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16 sge0isummpt2.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
1710, 15, 16chvarfv 2237 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑖𝐴
19 nfcsb1v 3932 . . . . . . 7 𝑘𝑖 / 𝑘𝐴
20 csbeq1a 3921 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑘𝐴)
2118, 19, 20cbvmpt 5258 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)
2221eqcomi 2743 . . . . 5 (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
237, 8, 13, 22fvmptf 7036 . . . 4 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
243, 17, 23syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
25 rge0ssre 13492 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26 ax-resscn 11209 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
2725, 26sstri 4004 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
2827, 17sselid 3992 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
29 sge0isummpt2.b . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵)
3021a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑍𝐴) = (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴))
3130seqeq3d 14046 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)))
3231breq1d 5157 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵))
3329, 32mpbid 232 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖𝑍𝑖 / 𝑘𝐴)) ⇝ 𝐵)
341, 2, 24, 28, 33isumclim 15789 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
35 nfcv 2902 . . . 4 𝑗𝐴
3613, 35, 8cbvsum 15727 . . 3 Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴
3736a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = Σ𝑗𝑍 𝑗 / 𝑘𝐴)
384, 16, 2, 1, 29sge0isummpt 46385 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = 𝐵)
3934, 37, 383eqtr4rd 2785 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍𝐴)) = Σ𝑘𝑍 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  csb 3907   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  cz 12610  cuz 12875  [,)cico 13385  seqcseq 14038  cli 15516  Σcsu 15718  Σ^csumge0 46317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-sumge0 46318
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator