Theorem sge0isummpt2 47005

Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0isummpt2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0isummpt2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0isummpt2.b	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0isummpt2	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0isummpt2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		sge0isummpt2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4		sge0isummpt2.kph	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1937	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	7	nfcsb1 3878	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
9	8	nfel1 2943	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)
10	6, 9	nfim 1919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11		eleq1w 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
12	11	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
13		csbeq1a 3869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16		sge0isummpt2.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
17	10, 15, 16	chvarfv 2278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐴
19		nfcsb1v 3879	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴
20		csbeq1a 3869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
21	18, 19, 20	cbvmpt 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
22	21	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
23	7, 8, 13, 22	fvmptf 7001	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
24	3, 17, 23	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
25		rge0ssre 13471	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26		ax-resscn 11145	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	25, 26	sstri 3948	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
28	27, 17	sselid 3937	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
29		sge0isummpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)
30	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴))
31	30	seqeq3d 14033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)))
32	31	breq1d 5114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵))
33	29, 32	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵)
34	1, 2, 24, 28, 33	isumclim 15796	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
35		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
36	13, 35, 8	cbvsum 15734	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
37	36	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
38	4, 16, 2, 1, 29	sge0isummpt 47003	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = 𝐵)
39	34, 37, 38	3eqtr4rd 2811	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  Ⅎwnf 1806   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3855   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091  +∞cpnf 11228  ℤcz 12579  ℤ_≥cuz 12850  [,)cico 13362  seqcseq 14025   ⇝ cli 15523  Σcsu 15725  Σ^{^}csumge0 46935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-sumge0 46936

This theorem is referenced by: (None)