Theorem sge0isummpt2 45733

Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0isummpt2.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0isummpt2.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
sge0isummpt2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sge0isummpt2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sge0isummpt2.b	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0isummpt2	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem sge0isummpt2

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0isummpt2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		sge0isummpt2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
4		sge0isummpt2.kph	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
6	4, 5	nfan 1895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
7		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	7	nfcsb1 3913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
9	8	nfel1 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)
10	6, 9	nfim 1892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
11		eleq1w 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
12	11	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
13		csbeq1a 3903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
14	13	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))))
16		sge0isummpt2.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
17	10, 15, 16	chvarfv 2226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞))
18		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝐴
19		nfcsb1v 3914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴
20		csbeq1a 3903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
21	18, 19, 20	cbvmpt 5253	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)
22	21	eqcomi 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
23	7, 8, 13, 22	fvmptf 7020	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
24	3, 17, 23	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
25		rge0ssre 13451	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
26		ax-resscn 11181	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
27	25, 26	sstri 3987	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
28	27, 17	sselid 3976	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
29		sge0isummpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵)
30	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴))
31	30	seqeq3d 13992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)))
32	31	breq1d 5152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) ⇝ 𝐵 ↔ seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵))
33	29, 32	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐴)) ⇝ 𝐵)
34	1, 2, 24, 28, 33	isumclim 15721	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
35		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝑍
36		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
37		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
38	13, 35, 36, 37, 8	cbvsum 15659	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴
39	38	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = Σ𝑗 ∈ 𝑍 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐴)
40	4, 16, 2, 1, 29	sge0isummpt 45731	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = 𝐵)
41	34, 39, 40	3eqtr4rd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  ⦋csb 3889   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127  +∞cpnf 11261  ℤcz 12574  ℤ_≥cuz 12838  [,)cico 13344  seqcseq 13984   ⇝ cli 15446  Σcsu 15650  Σ^{^}csumge0 45663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-sumge0 45664

This theorem is referenced by: (None)