Theorem submabas 22079

Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
submabas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submabas	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4		submabas.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		submabas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6	4, 5	matrcl 21911	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
8		ssfi 9172	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
9	7, 8	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
10	6	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
11	10	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12		ssel 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
14	13	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
16		ssel 3975	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
17	16	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
18	17	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
19	18	3adant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
24	4, 2	matecl 21926	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25	15, 19, 23, 24	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
26	1, 2, 3, 9, 11, 25	matbas2d 21924	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Fincfn 8938  Basecbs 17143   Mat cmat 21906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mat 21907

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  22166  smadiadet  22171  madjusmdetlem1  32802