MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submabas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submabas 21950
Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
submabas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submabas ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2 eqid 2733 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2733 . 2 (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4 submabas.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 submabas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
64, 5matrcl 21782 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
76simpld 496 . . 3 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
8 ssfi 9123 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
97, 8sylan 581 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
106simprd 497 . . 3 (𝑀𝐵𝑅 ∈ V)
1110adantr 482 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12 ssel 3941 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1312adantl 483 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1413imp 408 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝑁)
15143adant3 1133 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑖𝑁)
16 ssel 3941 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1716adantl 483 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1817imp 408 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
19183adant2 1132 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
205eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2120biimpi 215 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2221adantr 482 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant1 1134 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
244, 2matecl 21797 . . 3 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1372 . 2 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
261, 2, 3, 9, 11, 25matbas2d 21795 1 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  wss 3914  cfv 6500  (class class class)co 7361  cmpo 7363  Fincfn 8889  Basecbs 17091   Mat cmat 21777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778
This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  22037  smadiadet  22042  madjusmdetlem1  32472
  Copyright terms: Public domain W3C validator