Theorem submabas 22561

Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
submabas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submabas	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2		eqid 2739	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2739	. 2 ⊢ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4		submabas.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		submabas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6	4, 5	matrcl 22395	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
8		ssfi 9097	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
9	7, 8	sylan 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
10	6	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
11	10	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12		ssel 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
14	13	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
15	14	3adant3 1138	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
16		ssel 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
17	16	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
18	17	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
19	18	3adant2 1137	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2831	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	birani 504	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23	4, 2	matecl 22408	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
24	15, 19, 22, 23	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25	1, 2, 3, 9, 11, 24	matbas2d 22406	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  Fincfn 8883  Basecbs 17170   Mat cmat 22390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-mat 22391

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  22648  smadiadet  22653  madjusmdetlem1  34011