MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submabas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submabas 21725
Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
submabas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submabas ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . 2 (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2 eqid 2740 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2740 . 2 (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4 submabas.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 submabas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
64, 5matrcl 21557 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
76simpld 495 . . 3 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
8 ssfi 8938 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
97, 8sylan 580 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
106simprd 496 . . 3 (𝑀𝐵𝑅 ∈ V)
1110adantr 481 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12 ssel 3919 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1312adantl 482 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1413imp 407 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝑁)
15143adant3 1131 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑖𝑁)
16 ssel 3919 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1817imp 407 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
19183adant2 1130 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
205eleq2i 2832 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2120biimpi 215 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2221adantr 481 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant1 1132 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
244, 2matecl 21572 . . 3 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1370 . 2 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
261, 2, 3, 9, 11, 25matbas2d 21570 1 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  wss 3892  cfv 6432  (class class class)co 7271  cmpo 7273  Fincfn 8716  Basecbs 16910   Mat cmat 21552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-prds 17156  df-pws 17158  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-mat 21553
This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  21812  smadiadet  21817  madjusmdetlem1  31773
  Copyright terms: Public domain W3C validator