Theorem submabas 22638

Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
submabas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submabas	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4		submabas.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		submabas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6	4, 5	matrcl 22472	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
8		ssfi 9141	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
9	7, 8	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
10	6	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
11	10	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12		ssel 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
13	12	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
14	13	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
15	14	3adant3 1145	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
16		ssel 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
17	16	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
18	17	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
19	18	3adant2 1144	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	birani 507	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	3ad2ant1 1146	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23	4, 2	matecl 22485	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
24	15, 19, 22, 23	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25	1, 2, 3, 9, 11, 24	matbas2d 22483	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  Fincfn 8927  Basecbs 17245   Mat cmat 22467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-prds 17476  df-pws 17478  df-sra 21240  df-rgmod 21241  df-dsmm 21784  df-frlm 21799  df-mat 22468

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  22725  smadiadet  22730  madjusmdetlem1  34124