MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submabas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submabas 22467
Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
submabas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submabas ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2 eqid 2727 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2727 . 2 (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4 submabas.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 submabas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
64, 5matrcl 22299 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
76simpld 494 . . 3 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
8 ssfi 9189 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
97, 8sylan 579 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
106simprd 495 . . 3 (𝑀𝐵𝑅 ∈ V)
1110adantr 480 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12 ssel 3971 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1312adantl 481 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1413imp 406 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝑁)
15143adant3 1130 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑖𝑁)
16 ssel 3971 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1817imp 406 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
19183adant2 1129 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
205eleq2i 2820 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2120biimpi 215 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant1 1131 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
244, 2matecl 22314 . . 3 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1369 . 2 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
261, 2, 3, 9, 11, 25matbas2d 22312 1 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  wss 3944  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  Fincfn 8955  Basecbs 17171   Mat cmat 22294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-prds 17420  df-pws 17422  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-mat 22295
This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  22554  smadiadet  22559  madjusmdetlem1  33364
  Copyright terms: Public domain W3C validator