MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submabas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submabas 20800
Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
submabas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submabas ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . 2 (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2 eqid 2778 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2778 . 2 (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4 submabas.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 submabas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
64, 5matrcl 20633 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
76simpld 490 . . 3 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
8 ssfi 8470 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
97, 8sylan 575 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
106simprd 491 . . 3 (𝑀𝐵𝑅 ∈ V)
1110adantr 474 . 2 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12 ssel 3815 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1312adantl 475 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷𝑖𝑁))
1413imp 397 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷) → 𝑖𝑁)
15143adant3 1123 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑖𝑁)
16 ssel 3815 . . . . . 6 (𝐷𝑁 → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1716adantl 475 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑗𝐷𝑗𝑁))
1817imp 397 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
19183adant2 1122 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑗𝑁)
205eleq2i 2851 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2120biimpi 208 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2221adantr 474 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23223ad2ant1 1124 . . 3 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
244, 2matecl 20646 . . 3 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
2515, 19, 23, 24syl3anc 1439 . 2 (((𝑀𝐵𝐷𝑁) ∧ 𝑖𝐷𝑗𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
261, 2, 3, 9, 11, 25matbas2d 20644 1 ((𝑀𝐵𝐷𝑁) → (𝑖𝐷, 𝑗𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  wss 3792  cfv 6137  (class class class)co 6924  cmpt2 6926  Fincfn 8243  Basecbs 16266   Mat cmat 20628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-prds 16505  df-pws 16507  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-dsmm 20486  df-frlm 20501  df-mat 20629
This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  20888  smadiadet  20893  madjusmdetlem1  30499
  Copyright terms: Public domain W3C validator