Theorem submabas 21179

Description: Any subset of the index set of a square matrix defines a submatrix of the matrix. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
submabas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submabas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submabas	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submabas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2819	. 2 ⊢ (𝐷 Mat 𝑅) = (𝐷 Mat 𝑅)
2		eqid 2819	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2819	. 2 ⊢ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐷 Mat 𝑅))
4		submabas.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		submabas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6	4, 5	matrcl 21013	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	simpld 497	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
8		ssfi 8730	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
9	7, 8	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝐷 ∈ Fin)
10	6	simprd 498	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
11	10	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑅 ∈ V)
12		ssel 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
13	12	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷 → 𝑖 ∈ 𝑁))
14	13	imp 409	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
15	14	3adant3 1127	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑖 ∈ 𝑁)
16		ssel 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ⊆ 𝑁 → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
17	16	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑗 ∈ 𝐷 → 𝑗 ∈ 𝑁))
18	17	imp 409	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
19	18	3adant2 1126	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑗 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2902	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	biimpi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	3ad2ant1 1128	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
24	4, 2	matecl 21026	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
25	15, 19, 23, 24	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ 𝐷) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
26	1, 2, 3, 9, 11, 25	matbas2d 21024	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝐷, 𝑗 ∈ 𝐷 ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘(𝐷 Mat 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150  Fincfn 8501  Basecbs 16475   Mat cmat 21008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-mat 21009

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem0  21266  smadiadet  21271  madjusmdetlem1  31085