Theorem smadiadetlem3lem0 22388

Description: Lemma 0 for smadiadetlem3 22391. (Contributed by AV, 12-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem3lem0	⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑄)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑄‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑄,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛)   · (𝑖,𝑗,𝑛)   𝐺(𝑖,𝑗)   𝑊(𝑖,𝑗)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem smadiadetlem3lem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.r	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
2		difssd 4132	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
3	2	anim2i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ 𝑊) → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁))
5		marep01ma.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		marep01ma.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7	5, 6	submabas 22301	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ 𝑊) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)))
9		simpr 484	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ 𝑊) → 𝑄 ∈ 𝑊)
10		smadiadetlem.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11		smadiadetlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
12		madetminlem.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
13		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)
14		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) = (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅))
15		smadiadetlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
16	10, 11, 12, 13, 14, 15	madetsmelbas2 22188	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘((𝑁 ∖ {𝐾}) Mat 𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑄)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑄‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))
17	1, 8, 9, 16	mp3an2i 1465	1 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ 𝑊) → (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑄)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑄‘𝑛))))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  0_gc0g 17390   Σ_g cgsu 17391  SymGrpcsymg 19276  pmSgncpsgn 19399  mulGrpcmgp 20029  1_rcur 20076  CRingccrg 20129  ℤRHomczrh 21269   Mat cmat 22128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-splice 14705  df-reverse 14714  df-s2 14804  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-efmnd 18787  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-mat 22129

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3lem1  22389  smadiadetlem3lem2  22390