Theorem tsmsinv 24113

Description: Inverse of an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsinv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
tsmsinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tsmsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem tsmsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3		tsmsinv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmsinv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptps 24045	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
7		tgpgrp 24043	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		isabl 19759	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
10	8, 3, 9	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
11		tsmsinv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
12	1, 11	invghm 19808	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
13	10, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
14		ghmmhm 19201	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
16	2, 11	tgpinv 24050	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17	4, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
18		tsmsinv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19		tsmsinv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		tsmsinv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	1, 2, 2, 3, 6, 3, 6, 15, 17, 18, 19, 20	tsmsmhm 24111	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17384   MndHom cmhm 18749  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910   GrpHom cghm 19187  CMndccmn 19755  Abelcabl 19756  TopSpctps 22897   Cn ccn 23189  TopGrpctgp 24036   tsums ctsu 24091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-ntr 22985  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-tmd 24037  df-tgp 24038  df-tsms 24092

This theorem is referenced by:  tsmssub  24114