Theorem tsmsinv 24064

Description: Inverse of an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsinv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
tsmsinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tsmsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem tsmsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3		tsmsinv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmsinv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptps 23996	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
7		tgpgrp 23994	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		isabl 19698	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
10	8, 3, 9	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
11		tsmsinv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
12	1, 11	invghm 19747	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
13	10, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
14		ghmmhm 19140	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
16	2, 11	tgpinv 24001	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17	4, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
18		tsmsinv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19		tsmsinv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		tsmsinv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	1, 2, 2, 3, 6, 3, 6, 15, 17, 18, 19, 20	tsmsmhm 24062	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  TopOpenctopn 17327   MndHom cmhm 18691  Grpcgrp 18848  inv_gcminusg 18849   GrpHom cghm 19126  CMndccmn 19694  Abelcabl 19695  TopSpctps 22848   Cn ccn 23140  TopGrpctgp 23987   tsums ctsu 24042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-ntr 22936  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-tmd 23988  df-tgp 23989  df-tsms 24043

This theorem is referenced by:  tsmssub  24065