Theorem tsmsinv 24468

Description: Inverse of an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsinv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
tsmsinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tsmsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem tsmsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3		tsmsinv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmsinv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptps 24400	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
7		tgpgrp 24398	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		isabl 19999	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
10	8, 3, 9	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
11		tsmsinv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
12	1, 11	invghm 20048	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
13	10, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
14		ghmmhm 19441	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
16	2, 11	tgpinv 24405	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17	4, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
18		tsmsinv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19		tsmsinv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		tsmsinv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	1, 2, 2, 3, 6, 3, 6, 15, 17, 18, 19, 20	tsmsmhm 24466	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  TopOpenctopn 17593   MndHom cmhm 18977  Grpcgrp 19145  inv_gcminusg 19146   GrpHom cghm 19428  CMndccmn 19995  Abelcabl 19996  TopSpctps 23251   Cn ccn 23543  TopGrpctgp 24391   tsums ctsu 24446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-hash 14476  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-ghm 19429  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-ntr 23339  df-nei 23417  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-tmd 24392  df-tgp 24393  df-tsms 24447

This theorem is used by:  tsmssub  24469