MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsinv 22759
Description: Inverse of an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsinv.p 𝐼 = (invg𝐺)
tsmsinv.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsinv.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsinv.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsinv.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsinv.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsinv (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼𝐹)))

Proof of Theorem tsmsinv
StepHypRef Expression
1 tsmsinv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2824 . 2 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3 tsmsinv.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmsinv.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
5 tgptps 22691 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
7 tgpgrp 22689 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 isabl 18913 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
108, 3, 9sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
11 tsmsinv.p . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
121, 11invghm 18957 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
1310, 12sylib 221 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
14 ghmmhm 18371 . . 3 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
1513, 14syl 17 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
162, 11tgpinv 22696 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
174, 16syl 17 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
18 tsmsinv.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
19 tsmsinv.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
20 tsmsinv.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
211, 2, 2, 3, 6, 3, 6, 15, 17, 18, 19, 20tsmsmhm 22757 1 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  ccom 5547  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  TopOpenctopn 16698   MndHom cmhm 17957  Grpcgrp 18106  invgcminusg 18107   GrpHom cghm 18358  CMndccmn 18909  Abelcabl 18910  TopSpctps 21543   Cn ccn 21835  TopGrpctgp 22682   tsums ctsu 22737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-hash 13699  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-ntr 21631  df-nei 21709  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-tmd 22683  df-tgp 22684  df-tsms 22738
This theorem is referenced by:  tsmssub  22760
  Copyright terms: Public domain W3C validator