MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsinv 24072
Description: Inverse of an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsinv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmsinv.p 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
tsmsinv.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsinv.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsinv.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsinv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsinv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsinv (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem tsmsinv
StepHypRef Expression
1 tsmsinv.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . 2 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
3 tsmsinv.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmsinv.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
5 tgptps 24004 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
64, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
7 tgpgrp 24002 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
84, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 isabl 19746 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
108, 3, 9sylanbrc 581 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
11 tsmsinv.p . . . . 5 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
121, 11invghm 19795 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
1310, 12sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
14 ghmmhm 19187 . . 3 (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
1513, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
162, 11tgpinv 24009 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐼 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
174, 16syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
18 tsmsinv.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
19 tsmsinv.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
20 tsmsinv.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
211, 2, 2, 3, 6, 3, 6, 15, 17, 18, 19, 20tsmsmhm 24070 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  TopOpenctopn 17410   MndHom cmhm 18745  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898   GrpHom cghm 19174  CMndccmn 19742  Abelcabl 19743  TopSpctps 22854   Cn ccn 23148  TopGrpctgp 23995   tsums ctsu 24050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-ntr 22944  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tmd 23996  df-tgp 23997  df-tsms 24051
This theorem is referenced by:  tsmssub  24073
  Copyright terms: Public domain W3C validator