Theorem tsmsinv 22753

Description: Inverse of an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsinv.p	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
tsmsinv.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsinv.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsinv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsinv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tsmsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Proof of Theorem tsmsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsinv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2798	. 2 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3		tsmsinv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmsinv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptps 22685	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
7		tgpgrp 22683	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9		isabl 18902	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
10	8, 3, 9	sylanbrc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
11		tsmsinv.p	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
12	1, 11	invghm 18947	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
13	10, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
14		ghmmhm 18360	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺) → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
16	2, 11	tgpinv 22690	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
17	4, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
18		tsmsinv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
19		tsmsinv.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		tsmsinv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	1, 2, 2, 3, 6, 3, 6, 15, 17, 18, 19, 20	tsmsmhm 22751	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ (𝐺 tsums (𝐼 ∘ 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  TopOpenctopn 16687   MndHom cmhm 17946  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096   GrpHom cghm 18347  CMndccmn 18898  Abelcabl 18899  TopSpctps 21537   Cn ccn 21829  TopGrpctgp 22676   tsums ctsu 22731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-ntr 21625  df-nei 21703  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tmd 22677  df-tgp 22678  df-tsms 22732

This theorem is referenced by:  tsmssub  22754