Theorem zrhrhm 21823

Description: The ℤRHom homomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Proof of Theorem zrhrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ 𝐿 = 𝐿
2		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhmb 21822	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐿 = 𝐿))
4	1, 3	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Ringcrg 20465   RingHom crh 20705  ℤ_ringczring 21758  ℤRHomczrh 21811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-seq 14149  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-rhm 20708  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-cnfld 21685  df-zring 21759  df-zrh 21815

This theorem is used by:  zrh1  21824  zrh0  21825  fermltlchr  21841  chrrhm  21843  domnchr  21844  zndvds0  21862  znf1o  21863  zzngim  21864  znfld  21872  znidomb  21873  znunit  21875  znrrg  21877  cygznlem3  21881  zrhpsgnmhm  21896  zrhpsgnodpm  21904  ply1fermltlchr  22636  dchrzrhmul  27579  lgsqrlem1  27679  lgsqrlem2  27680  lgsqrlem3  27681  lgsdchr  27688  lgseisenlem3  27710  lgseisenlem4  27711  dchrisum0flblem1  27841  znfermltl  33969  elrspunidl  34025  esplyfval0  34243  esplyfval2  34244  esplympl  34246  esplyfval3  34251  vieta  34259  mdetpmtr1  34502  mdetpmtr12  34504  mdetlap  34511  zrhf1ker  34652  zrhunitpreima  34655  elzrhunit  34656  zrhneg  34657  zrhcntr  34658  qqhval2lem  34660  qqhf  34665  qqhghm  34667  qqhrhm  34668  qqhnm  34669  zndvdchrrhm  43117  aks6d1c1p2  43253  aks6d1c1p3  43254  aks6d1c1  43260  hashscontpowcl  43264  hashscontpow  43266  aks6d1c4  43268  aks6d1c2  43274  aks6d1c5lem0  43279  aks6d1c5lem1  43280  aks6d1c5lem3  43281  aks6d1c5lem2  43282  aks6d1c5  43283  aks6d1c6lem1  43314  aks6d1c6lem3  43316  aks6d1c6lem5  43321  aks6d1c7lem1  43324  aks5lem3a  43333  aks5lem5a  43335