Theorem zrhrhm 21449

Description: The ℤRHom homomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Proof of Theorem zrhrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ 𝐿 = 𝐿
2		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhmb 21448	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐿 = 𝐿))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Ringcrg 20152   RingHom crh 20388  ℤ_ringczring 21384  ℤRHomczrh 21437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-rhm 20391  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-cnfld 21293  df-zring 21385  df-zrh 21441

This theorem is referenced by:  zrh1  21450  zrh0  21451  fermltlchr  21467  chrrhm  21469  domnchr  21470  zndvds0  21488  znf1o  21489  zzngim  21490  znfld  21498  znidomb  21499  znunit  21501  znrrg  21503  cygznlem3  21507  zrhpsgnmhm  21522  zrhpsgnodpm  21530  ply1fermltlchr  22228  dchrzrhmul  27185  lgsqrlem1  27285  lgsqrlem2  27286  lgsqrlem3  27287  lgsdchr  27294  lgseisenlem3  27316  lgseisenlem4  27317  dchrisum0flblem1  27447  znfermltl  33329  elrspunidl  33391  esplympl  33586  mdetpmtr1  33834  mdetpmtr12  33836  mdetlap  33843  zrhf1ker  33984  zrhunitpreima  33987  elzrhunit  33988  zrhneg  33989  zrhcntr  33990  qqhval2lem  33992  qqhf  33997  qqhghm  33999  qqhrhm  34000  qqhnm  34001  zndvdchrrhm  42011  aks6d1c1p2  42148  aks6d1c1p3  42149  aks6d1c1  42155  hashscontpowcl  42159  hashscontpow  42161  aks6d1c4  42163  aks6d1c2  42169  aks6d1c5lem0  42174  aks6d1c5lem1  42175  aks6d1c5lem3  42176  aks6d1c5lem2  42177  aks6d1c5  42178  aks6d1c6lem1  42209  aks6d1c6lem3  42211  aks6d1c6lem5  42216  aks6d1c7lem1  42219  aks5lem3a  42228  aks5lem5a  42230