Theorem zrhrhm 21850

Description: The ℤRHom homomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Proof of Theorem zrhrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ 𝐿 = 𝐿
2		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhmb 21849	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐿 = 𝐿))
4	1, 3	mpbiri 261	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Ringcrg 20492   RingHom crh 20732  ℤ_ringczring 21785  ℤRHomczrh 21838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-seq 14175  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-cnfld 21712  df-zring 21786  df-zrh 21842

This theorem is used by:  zrh1  21851  zrh0  21852  fermltlchr  21868  chrrhm  21870  domnchr  21871  zndvds0  21889  znf1o  21890  zzngim  21891  znfld  21899  znidomb  21900  znunit  21902  znrrg  21904  cygznlem3  21908  zrhpsgnmhm  21923  zrhpsgnodpm  21931  ply1fermltlchr  22663  dchrzrhmul  27606  lgsqrlem1  27706  lgsqrlem2  27707  lgsqrlem3  27708  lgsdchr  27715  lgseisenlem3  27737  lgseisenlem4  27738  dchrisum0flblem1  27868  znfermltl  34006  elrspunidl  34062  esplyfval0  34279  esplyfval2  34280  esplympl  34282  esplyfval3  34287  vieta  34295  mdetpmtr1  34538  mdetpmtr12  34540  mdetlap  34547  zrhf1ker  34688  zrhunitpreima  34691  elzrhunit  34692  zrhneg  34693  zrhcntr  34694  qqhval2lem  34696  qqhf  34701  qqhghm  34703  qqhrhm  34704  qqhnm  34705  zndvdchrrhm  43226  aks6d1c1p2  43362  aks6d1c1p3  43363  aks6d1c1  43369  hashscontpowcl  43373  hashscontpow  43375  aks6d1c4  43377  aks6d1c2  43383  aks6d1c5lem0  43388  aks6d1c5lem1  43389  aks6d1c5lem3  43390  aks6d1c5lem2  43391  aks6d1c5  43392  aks6d1c6lem1  43423  aks6d1c6lem3  43425  aks6d1c6lem5  43430  aks6d1c7lem1  43433  aks5lem3a  43442  aks5lem5a  43444