Theorem zrhrhm 21536

Description: The ℤRHom homomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Proof of Theorem zrhrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. 2 ⊢ 𝐿 = 𝐿
2		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhmb 21535	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐿 = 𝐿))
4	1, 3	mpbiri 260	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Ringcrg 20255   RingHom crh 20490  ℤ_ringczring 21471  ℤRHomczrh 21524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-addf 11142  ax-mulf 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-seq 14005  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19230  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-rhm 20493  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-cnfld 21398  df-zring 21472  df-zrh 21528

This theorem is referenced by:  zrh1  21537  zrh0  21538  fermltlchr  21554  chrrhm  21556  domnchr  21557  zndvds0  21575  znf1o  21576  zzngim  21577  znfld  21585  znidomb  21586  znunit  21588  znrrg  21590  cygznlem3  21594  zrhpsgnmhm  21609  zrhpsgnodpm  21617  ply1fermltlchr  22348  dchrzrhmul  27280  lgsqrlem1  27380  lgsqrlem2  27381  lgsqrlem3  27382  lgsdchr  27389  lgseisenlem3  27411  lgseisenlem4  27412  dchrisum0flblem1  27542  znfermltl  33506  elrspunidl  33568  esplyfval0  33815  esplyfval2  33816  esplympl  33818  esplyfval3  33823  vieta  33831  mdetpmtr1  34074  mdetpmtr12  34076  mdetlap  34083  zrhf1ker  34224  zrhunitpreima  34227  elzrhunit  34228  zrhneg  34229  zrhcntr  34230  qqhval2lem  34232  qqhf  34237  qqhghm  34239  qqhrhm  34240  qqhnm  34241  zndvdchrrhm  42538  aks6d1c1p2  42674  aks6d1c1p3  42675  aks6d1c1  42681  hashscontpowcl  42685  hashscontpow  42687  aks6d1c4  42689  aks6d1c2  42695  aks6d1c5lem0  42700  aks6d1c5lem1  42701  aks6d1c5lem3  42702  aks6d1c5lem2  42703  aks6d1c5  42704  aks6d1c6lem1  42735  aks6d1c6lem3  42737  aks6d1c6lem5  42742  aks6d1c7lem1  42745  aks5lem3a  42754  aks5lem5a  42756