Theorem zrhrhm 21466

Description: The ℤRHom homomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Proof of Theorem zrhrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ 𝐿 = 𝐿
2		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhmb 21465	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐿 = 𝐿))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Ringcrg 20168   RingHom crh 20405  ℤ_ringczring 21401  ℤRHomczrh 21454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458

This theorem is referenced by:  zrh1  21467  zrh0  21468  fermltlchr  21484  chrrhm  21486  domnchr  21487  zndvds0  21505  znf1o  21506  zzngim  21507  znfld  21515  znidomb  21516  znunit  21518  znrrg  21520  cygznlem3  21524  zrhpsgnmhm  21539  zrhpsgnodpm  21547  ply1fermltlchr  22256  dchrzrhmul  27213  lgsqrlem1  27313  lgsqrlem2  27314  lgsqrlem3  27315  lgsdchr  27322  lgseisenlem3  27344  lgseisenlem4  27345  dchrisum0flblem1  27475  znfermltl  33447  elrspunidl  33509  esplyfval0  33722  esplyfval2  33723  esplympl  33725  esplyfval3  33730  vieta  33736  mdetpmtr1  33980  mdetpmtr12  33982  mdetlap  33989  zrhf1ker  34130  zrhunitpreima  34133  elzrhunit  34134  zrhneg  34135  zrhcntr  34136  qqhval2lem  34138  qqhf  34143  qqhghm  34145  qqhrhm  34146  qqhnm  34147  zndvdchrrhm  42222  aks6d1c1p2  42359  aks6d1c1p3  42360  aks6d1c1  42366  hashscontpowcl  42370  hashscontpow  42372  aks6d1c4  42374  aks6d1c2  42380  aks6d1c5lem0  42385  aks6d1c5lem1  42386  aks6d1c5lem3  42387  aks6d1c5lem2  42388  aks6d1c5  42389  aks6d1c6lem1  42420  aks6d1c6lem3  42422  aks6d1c6lem5  42427  aks6d1c7lem1  42430  aks5lem3a  42439  aks5lem5a  42441