Theorem zrhrhm 21493

Description: The ℤRHom homomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Proof of Theorem zrhrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ 𝐿 = 𝐿
2		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhmb 21492	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐿 = 𝐿))
4	1, 3	mpbiri 259	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Ringcrg 20212   RingHom crh 20447  ℤ_ringczring 21428  ℤRHomczrh 21481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-seq 13962  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485

This theorem is referenced by:  zrh1  21494  zrh0  21495  fermltlchr  21511  chrrhm  21513  domnchr  21514  zndvds0  21532  znf1o  21533  zzngim  21534  znfld  21542  znidomb  21543  znunit  21545  znrrg  21547  cygznlem3  21551  zrhpsgnmhm  21566  zrhpsgnodpm  21574  ply1fermltlchr  22305  dchrzrhmul  27234  lgsqrlem1  27334  lgsqrlem2  27335  lgsqrlem3  27336  lgsdchr  27343  lgseisenlem3  27365  lgseisenlem4  27366  dchrisum0flblem1  27496  znfermltl  33456  elrspunidl  33518  esplyfval0  33755  esplyfval2  33756  esplympl  33758  esplyfval3  33763  vieta  33771  mdetpmtr1  34014  mdetpmtr12  34016  mdetlap  34023  zrhf1ker  34164  zrhunitpreima  34167  elzrhunit  34168  zrhneg  34169  zrhcntr  34170  qqhval2lem  34172  qqhf  34177  qqhghm  34179  qqhrhm  34180  qqhnm  34181  zndvdchrrhm  42465  aks6d1c1p2  42601  aks6d1c1p3  42602  aks6d1c1  42608  hashscontpowcl  42612  hashscontpow  42614  aks6d1c4  42616  aks6d1c2  42622  aks6d1c5lem0  42627  aks6d1c5lem1  42628  aks6d1c5lem3  42629  aks6d1c5lem2  42630  aks6d1c5  42631  aks6d1c6lem1  42662  aks6d1c6lem3  42664  aks6d1c6lem5  42669  aks6d1c7lem1  42672  aks5lem3a  42681  aks5lem5a  42683