Theorem zrhrhm 21540

Description: The ℤRHom homomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhrhm	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Proof of Theorem zrhrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ 𝐿 = 𝐿
2		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhmb 21539	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ↔ 𝐿 = 𝐿))
4	1, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486  ℤ_ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532

This theorem is referenced by:  zrh1  21541  zrh0  21542  fermltlchr  21562  chrrhm  21564  domnchr  21565  zndvds0  21587  znf1o  21588  zzngim  21589  znfld  21597  znidomb  21598  znunit  21600  znrrg  21602  cygznlem3  21606  zrhpsgnmhm  21620  zrhpsgnodpm  21628  ply1fermltlchr  22332  dchrzrhmul  27305  lgsqrlem1  27405  lgsqrlem2  27406  lgsqrlem3  27407  lgsdchr  27414  lgseisenlem3  27436  lgseisenlem4  27437  dchrisum0flblem1  27567  znfermltl  33374  elrspunidl  33436  mdetpmtr1  33784  mdetpmtr12  33786  mdetlap  33793  zrhf1ker  33936  zrhunitpreima  33939  elzrhunit  33940  zrhneg  33941  zrhcntr  33942  qqhval2lem  33944  qqhf  33949  qqhghm  33951  qqhrhm  33952  qqhnm  33953  zndvdchrrhm  41953  aks6d1c1p2  42091  aks6d1c1p3  42092  aks6d1c1  42098  hashscontpowcl  42102  hashscontpow  42104  aks6d1c4  42106  aks6d1c2  42112  aks6d1c5lem0  42117  aks6d1c5lem1  42118  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5lem2  42120  aks6d1c5  42121  aks6d1c6lem1  42152  aks6d1c6lem3  42154  aks6d1c6lem5  42159  aks6d1c7lem1  42162  aks5lem3a  42171  aks5lem5a  42173