Theorem zrhneg 34137

Description: The canonical homomorphism from the integers to a ring 𝑅 maps additive inverses to additive inverses. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhneg.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhneg.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
zrhneg.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zrhneg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zrhneg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))

Proof of Theorem zrhneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhneg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zringinvg 21424	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 = ((invg‘ℤring)‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑁 = ((invg‘ℤring)‘𝑁))
4	3	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)))
5		zrhneg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		zrhneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	6	zrhrhm 21470	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
8		rhmghm 20423	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
9	5, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
10		zringbas 21412	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
12		zrhneg.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
13	10, 11, 12	ghminv 19156	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))
14	9, 1, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))
15	4, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  -cneg 11369  ℤcz 12492  inv_gcminusg 18868   GrpHom cghm 19145  Ringcrg 20172   RingHom crh 20409  ℤ_ringczring 21405  ℤRHomczrh 21458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-seq 13929  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462

This theorem is referenced by: (None)