Theorem zrhneg 33979

Description: The canonical homomorphism from the integers to a ring 𝑅 maps additive inverses to additive inverses. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhneg.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhneg.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
zrhneg.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zrhneg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zrhneg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))

Proof of Theorem zrhneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhneg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zringinvg 21476	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 = ((invg‘ℤring)‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑁 = ((invg‘ℤring)‘𝑁))
4	3	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)))
5		zrhneg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		zrhneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	6	zrhrhm 21522	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
8		rhmghm 20484	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
9	5, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
10		zringbas 21464	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
12		zrhneg.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
13	10, 11, 12	ghminv 19241	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))
14	9, 1, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))
15	4, 14	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  -cneg 11493  ℤcz 12613  inv_gcminusg 18952   GrpHom cghm 19230  Ringcrg 20230   RingHom crh 20469  ℤ_ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514

This theorem is referenced by: (None)