Theorem zrhneg 33940

Description: The canonical homomorphism from the integers to a ring 𝑅 maps additive inverses to additive inverses. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhneg.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhneg.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
zrhneg.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
zrhneg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zrhneg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))

Proof of Theorem zrhneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhneg.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zringinvg 21493	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 = ((invg‘ℤring)‘𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑁 = ((invg‘ℤring)‘𝑁))
4	3	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)))
5		zrhneg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		zrhneg.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
7	6	zrhrhm 21539	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
8		rhmghm 20500	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
9	5, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
10		zringbas 21481	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
11		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
12		zrhneg.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
13	10, 11, 12	ghminv 19253	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))
14	9, 1, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((invg‘ℤring)‘𝑁)) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))
15	4, 14	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘-𝑁) = (𝐼‘(𝐿‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  -cneg 11490  ℤcz 12610  inv_gcminusg 18964   GrpHom cghm 19242  Ringcrg 20250   RingHom crh 20485  ℤ_ringczring 21474  ℤRHomczrh 21527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531

This theorem is referenced by: (None)