Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arithufd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arithufd 33576
Description: Existence of a factorization into irreducible elements in a unique factorization domain. Any non-zero, non-unit element 𝑋 of a UFD 𝑅 can be written as a product of primes 𝑓. As shown in 1arithidom 33565, that factorization is unique, up to the order of the factors and multiplication by units. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
1arithufd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
1arithufd.0 0 = (0g𝑅)
1arithufd.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithufd.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithufd.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithufd.r (𝜑𝑅 ∈ UFD)
1arithufd.x (𝜑𝑋𝐵)
1arithufd.2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
1arithufd.3 (𝜑𝑋0 )
Assertion
Ref Expression
1arithufd (𝜑 → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓))
Distinct variable groups:   0 ,𝑓   𝑓,𝑀   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝜑,𝑓   𝐵,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑋

Proof of Theorem 1arithufd
Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
2 1arithufd.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ DivRing) → 𝑋𝐵)
4 1arithufd.3 . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ DivRing) → 𝑋0 )
6 1arithufd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 1arithufd.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8 1arithufd.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
96, 7, 8drngunit 20734 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋𝑈 ↔ (𝑋𝐵𝑋0 )))
109biimpar 477 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑋𝑈)
111, 3, 5, 10syl12anc 837 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ DivRing) → 𝑋𝑈)
12 1arithufd.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ DivRing) → ¬ 𝑋𝑈)
1411, 13pm2.21dd 195 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ DivRing) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓))
15 1arithufd.p . . . . 5 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
16 1arithufd.m . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
17 1arithufd.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ UFD)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ UFD)
19 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
20 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
2120rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)))
2221cbvrabv 3447 . . . . . 6 {𝑦𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)} = {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓)}
23 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → (𝑀 Σg 𝑓) = (𝑀 Σg 𝑔))
2423eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔)))
2524cbvrexvw 3238 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔))
2622, 25rabbieq 3445 . . . . 5 {𝑦𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)} = {𝑥𝐵 ∣ ∃𝑔 ∈ Word 𝑃𝑥 = (𝑀 Σg 𝑔)}
272adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑋𝐵)
2812adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → ¬ 𝑋𝑈)
294adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑋0 )
306, 8, 7, 15, 16, 18, 19, 26, 27, 28, 291arithufdlem4 33575 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑋 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)})
31 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3231rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓) ↔ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3332elrab 3692 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝑦𝐵 ∣ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑦 = (𝑀 Σg 𝑓)} ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3430, 33sylib 218 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓)))
3534simprd 495 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ DivRing) → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓))
3614, 35pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ Word 𝑃𝑋 = (𝑀 Σg 𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  cfv 6561  (class class class)co 7431  Word cword 14552  Basecbs 17247  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  mulGrpcmgp 20137  Unitcui 20355  RPrimecrpm 20432  DivRingcdr 20729  UFDcufd 33566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rprm 20433  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-prmidl 33464  df-ufd 33567
This theorem is referenced by:  dfufd2  33578
  Copyright terms: Public domain W3C validator