Theorem chrdvds 21451

Description: The ℤ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrdvds	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem chrdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
4	1, 2, 3	chrval 21448	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
5	4	breq1i 5102	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ 𝐶 ∥ 𝑁)
6		ringgrp 20141	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 2	ringidcl 20168	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
13		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	8, 1, 12, 13	oddvds 19444	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
15	7, 10, 11, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
16	5, 15	bitr3id 285	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
17		chrid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17, 12, 2	zrhmulg 21434	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
19	18	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑁) = 0 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
20	16, 19	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16181  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830  ._gcmg 18964  odcod 19421  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  ℤRHomczrh 21424  chrcchr 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-od 19425  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-chr 21430

This theorem is referenced by:  fermltlchr  21454  chrnzr  21455  chrrhm  21456  domnchr  21457  znchr  21487  zndvdchrrhm  41945  aks6d1c5lem1  42109