MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrdvds 20883
Description: The ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
chrdvds ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝐿𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem chrdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2 eqid 2737 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 chrcl.c . . . . 5 𝐶 = (chr‘𝑅)
41, 2, 3chrval 20880 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 𝐶
54breq1i 5110 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁𝐶𝑁)
6 ringgrp 19922 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
76adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 2ringidcl 19942 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
109adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11 simpr 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 eqid 2737 . . . . 5 (.g𝑅) = (.g𝑅)
13 chrid.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
148, 1, 12, 13oddvds 19287 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
157, 10, 11, 14syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
165, 15bitr3id 284 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
17 chrid.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
1817, 12, 2zrhmulg 20862 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)))
1918eqeq1d 2739 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁) = 0 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
2016, 19bitr4d 281 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝐿𝑁) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  cz 12457  cdvds 16095  Basecbs 17042  0gc0g 17280  Grpcgrp 18707  .gcmg 18830  odcod 19264  1rcur 19871  Ringcrg 19917  ℤRHomczrh 20852  chrcchr 20854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14943  df-re 14944  df-im 14945  df-sqrt 15079  df-abs 15080  df-dvds 16096  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-starv 17107  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-unif 17115  df-0g 17282  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mhm 18560  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-mulg 18831  df-subg 18883  df-ghm 18964  df-od 19268  df-cmn 19522  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-cring 19920  df-rnghom 20098  df-subrg 20172  df-cnfld 20749  df-zring 20822  df-zrh 20856  df-chr 20858
This theorem is referenced by:  chrnzr  20885  chrrhm  20886  domnchr  20887  znchr  20921  fermltlchr  31977
  Copyright terms: Public domain W3C validator