Theorem chrdvds 20272

Description: The ℤ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrdvds	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem chrdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
4	1, 2, 3	chrval 20269	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
5	4	breq1i 4893	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ 𝐶 ∥ 𝑁)
6		ringgrp 18939	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 2	ringidcl 18955	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
13		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	8, 1, 12, 13	oddvds 18350	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
15	7, 10, 11, 14	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
16	5, 15	syl5bbr 277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
17		chrid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17, 12, 2	zrhmulg 20254	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
19	18	eqeq1d 2780	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑁) = 0 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
20	16, 19	bitr4d 274	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℤcz 11728   ∥ cdvds 15387  Basecbs 16255  0_gc0g 16486  Grpcgrp 17809  ._gcmg 17927  odcod 18328  1_rcur 18888  Ringcrg 18934  ℤRHomczrh 20244  chrcchr 20246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-od 18332  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-chr 20250

This theorem is referenced by:  chrnzr  20274  chrrhm  20275  domnchr  20276  znchr  20306