MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrdvds 20218
Description: The ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
chrdvds ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝐿𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem chrdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . . 5 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2 eqid 2822 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 chrcl.c . . . . 5 𝐶 = (chr‘𝑅)
41, 2, 3chrval 20215 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 𝐶
54breq1i 5049 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁𝐶𝑁)
6 ringgrp 19293 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
76adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8 eqid 2822 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 2ringidcl 19312 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
109adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11 simpr 488 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 eqid 2822 . . . . 5 (.g𝑅) = (.g𝑅)
13 chrid.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
148, 1, 12, 13oddvds 18666 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
157, 10, 11, 14syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
165, 15bitr3id 288 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
17 chrid.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
1817, 12, 2zrhmulg 20201 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)))
1918eqeq1d 2824 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁) = 0 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
2016, 19bitr4d 285 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝐿𝑁) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cz 11969  cdvds 15598  Basecbs 16474  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  .gcmg 18215  odcod 18643  1rcur 19242  Ringcrg 19288  ℤRHomczrh 20191  chrcchr 20193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-od 18647  df-cmn 18899  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-rnghom 19461  df-subrg 19524  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zrh 20195  df-chr 20197
This theorem is referenced by:  chrnzr  20220  chrrhm  20221  domnchr  20222  znchr  20252
  Copyright terms: Public domain W3C validator