Theorem chrdvds 21740

Description: The ℤ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrdvds	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem chrdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
4	1, 2, 3	chrval 21737	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
5	4	breq1i 5114	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ 𝐶 ∥ 𝑁)
6		ringgrp 20378	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 2	ringidcl 20407	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
13		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	8, 1, 12, 13	oddvds 19675	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
15	7, 10, 11, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
16	5, 15	bitr3id 288	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
17		chrid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17, 12, 2	zrhmulg 21723	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
19	18	eqeq1d 2764	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑁) = 0 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
20	16, 19	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℤcz 12618   ∥ cdvds 16346  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  ._gcmg 19191  odcod 19652  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  ℤRHomczrh 21713  chrcchr 21715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-od 19656  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-chr 21719

This theorem is used by:  fermltlchr  21743  chrnzr  21744  chrrhm  21745  domnchr  21746  znchr  21776  zndvdchrrhm  42826  aks6d1c5lem1  42989