Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrdvds 20272
 Description: The ℤ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
chrdvds ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝐿𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem chrdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . 5 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2 eqid 2778 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 chrcl.c . . . . 5 𝐶 = (chr‘𝑅)
41, 2, 3chrval 20269 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 𝐶
54breq1i 4893 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁𝐶𝑁)
6 ringgrp 18939 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
76adantr 474 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 2ringidcl 18955 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
109adantr 474 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11 simpr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 eqid 2778 . . . . 5 (.g𝑅) = (.g𝑅)
13 chrid.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
148, 1, 12, 13oddvds 18350 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
157, 10, 11, 14syl3anc 1439 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
165, 15syl5bbr 277 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
17 chrid.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
1817, 12, 2zrhmulg 20254 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)))
1918eqeq1d 2780 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁) = 0 ↔ (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)) = 0 ))
2016, 19bitr4d 274 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶𝑁 ↔ (𝐿𝑁) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℤcz 11728   ∥ cdvds 15387  Basecbs 16255  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  .gcmg 17927  odcod 18328  1rcur 18888  Ringcrg 18934  ℤRHomczrh 20244  chrcchr 20246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-od 18332  df-cmn 18581  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-chr 20250 This theorem is referenced by:  chrnzr  20274  chrrhm  20275  domnchr  20276  znchr  20306
 Copyright terms: Public domain W3C validator