Theorem chrdvds 21486

Description: The ℤ ring homomorphism is zero only at multiples of the characteristic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrdvds	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

Proof of Theorem chrdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
4	1, 2, 3	chrval 21483	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
5	4	breq1i 5106	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ 𝐶 ∥ 𝑁)
6		ringgrp 20178	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 2	ringidcl 20205	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
13		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
14	8, 1, 12, 13	oddvds 19481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
15	7, 10, 11, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
16	5, 15	bitr3id 285	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
17		chrid.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17, 12, 2	zrhmulg 21469	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
19	18	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑁) = 0 ↔ (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ))
20	16, 19	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝑁 ↔ (𝐿‘𝑁) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℤcz 12493   ∥ cdvds 16184  Basecbs 17141  0_gc0g 17364  Grpcgrp 18868  ._gcmg 19002  odcod 19458  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  ℤRHomczrh 21459  chrcchr 21461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110  ax-mulf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-dvds 16185  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-od 19462  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20413  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-cnfld 21315  df-zring 21407  df-zrh 21463  df-chr 21465

This theorem is referenced by:  fermltlchr  21489  chrnzr  21490  chrrhm  21491  domnchr  21492  znchr  21522  zndvdchrrhm  42305  aks6d1c5lem1  42469