Theorem zrhmulg 20430

Description: Value of the ℤRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhval2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
zrhval2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))

Proof of Theorem zrhmulg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2		zrhval2.m	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
3		zrhval2.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	zrhval2 20429	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
5	4	fveq1d 6697	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁))
6		oveq1 7198	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 1 ) = (𝑁 · 1 ))
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
8		ovex 7224	. . 3 ⊢ (𝑁 · 1 ) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6796	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))
10	5, 9	sylan9eq 2791	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁 · 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℤcz 12141  ._gcmg 18442  1_rcur 19470  Ringcrg 19516  ℤRHomczrh 20420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-seq 13540  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-ghm 18574  df-cmn 19126  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-cring 19519  df-rnghom 19689  df-subrg 19752  df-cnfld 20318  df-zring 20390  df-zrh 20424

This theorem is referenced by:  chrid  20446  chrdvds  20447  chrcong  20448  zrhpsgnelbas  20510  m2detleiblem1  21475  isarchiofld  31189  rearchi  31214  elrspunidl  31274  zrhnm  31585