Theorem cnncvsabsnegdemo 25212

Description: Derive the absolute value of a negative complex number absneg 15312 to demonstrate the use of the properties of a normed subcomplex vector space for the complex numbers. (Contributed by AV, 9-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnncvsabsnegdemo	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem cnncvsabsnegdemo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldnm 24814	. . . 4 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → abs = (norm‘ℂfld))
3		cnfldneg 21425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
4	3	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = ((invg‘ℂfld)‘𝐴))
5	2, 4	fveq12d 6913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)))
6		cnngp 24815	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmGrp
7		cnfldbas 21385	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
10	7, 8, 9	nminv 24649	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)) = ((norm‘ℂfld)‘𝐴))
11	6, 10	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)) = ((norm‘ℂfld)‘𝐴))
12	1	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
13	12	fveq1i 6907	. . 3 ⊢ ((norm‘ℂfld)‘𝐴) = (abs‘𝐴)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((norm‘ℂfld)‘𝐴) = (abs‘𝐴))
15	5, 11, 14	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  ℂcc 11150  -cneg 11490  abscabs 15269  inv_gcminusg 18964  ℂ_fldccnfld 21381  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-mgp 20152  df-ring 20252  df-cring 20253  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611

This theorem is referenced by: (None)