Theorem cnncvsabsnegdemo 25181

Description: Derive the absolute value of a negative complex number absneg 15277 to demonstrate the use of the properties of a normed subcomplex vector space for the complex numbers. (Contributed by AV, 9-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnncvsabsnegdemo	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem cnncvsabsnegdemo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldnm 24783	. . . 4 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → abs = (norm‘ℂfld))
3		cnfldneg 21383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
4	3	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = ((invg‘ℂfld)‘𝐴))
5	2, 4	fveq12d 6900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)))
6		cnngp 24784	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmGrp
7		cnfldbas 21343	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
10	7, 8, 9	nminv 24618	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)) = ((norm‘ℂfld)‘𝐴))
11	6, 10	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)) = ((norm‘ℂfld)‘𝐴))
12	1	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
13	12	fveq1i 6894	. . 3 ⊢ ((norm‘ℂfld)‘𝐴) = (abs‘𝐴)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((norm‘ℂfld)‘𝐴) = (abs‘𝐴))
15	5, 11, 14	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6546  ℂcc 11147  -cneg 11486  abscabs 15234  inv_gcminusg 18924  ℂ_fldccnfld 21339  normcnm 24573  NrmGrpcngp 24574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-topgen 17453  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-cmn 19776  df-mgp 20114  df-ring 20214  df-cring 20215  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-xms 24314  df-ms 24315  df-nm 24579  df-ngp 24580

This theorem is referenced by: (None)