Theorem cnncvsabsnegdemo 25333

Description: Derive the absolute value of a negative complex number absneg 15333 to demonstrate the use of the properties of a normed subcomplex vector space for the complex numbers. (Contributed by AV, 9-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnncvsabsnegdemo	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem cnncvsabsnegdemo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldnm 24944	. . . 4 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → abs = (norm‘ℂfld))
3		cnfldneg 21557	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
4	3	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = ((invg‘ℂfld)‘𝐴))
5	2, 4	fveq12d 6888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)))
6		cnngp 24945	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmGrp
7		cnfldbas 21535	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (norm‘ℂfld) = (norm‘ℂfld)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
10	7, 8, 9	nminv 24787	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)) = ((norm‘ℂfld)‘𝐴))
11	6, 10	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((norm‘ℂfld)‘((invg‘ℂfld)‘𝐴)) = ((norm‘ℂfld)‘𝐴))
12	1	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (norm‘ℂfld) = abs
13	12	fveq1i 6882	. . 3 ⊢ ((norm‘ℂfld)‘𝐴) = (abs‘𝐴)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((norm‘ℂfld)‘𝐴) = (abs‘𝐴))
15	5, 11, 14	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  ℂcc 11102  -cneg 11446  abscabs 15290  inv_gcminusg 19005  ℂ_fldccnfld 21531  normcnm 24742  NrmGrpcngp 24743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-fz 13540  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-topgen 17500  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-cmn 19856  df-mgp 20221  df-ring 20321  df-cring 20322  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-xms 24486  df-ms 24487  df-nm 24748  df-ngp 24749

This theorem is used by: (None)