Theorem mp2pm2mplem3 22752

Description: Lemma 3 for mp2pm2mp 22755. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mp2pm2mp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mp2pm2mp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mp2pm2mp.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
mp2pm2mp.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mp2pm2mplem3	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗   · ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐸(𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐾(𝑘,𝑝)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem mp2pm2mplem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mp2pm2mp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mp2pm2mp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
3		mp2pm2mp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
4		mp2pm2mp.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		mp2pm2mp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6		mp2pm2mp.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
7		mp2pm2mp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mp2pm2mplem1 22750	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
9	8	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾))
11		mp2pm2mplem2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13	mp2pm2mplem2 22751	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
15	12, 13	decpmatval 22709	. . 3 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)))
16	14, 15	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)))
17		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
18		oveq12 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏))
19	18	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))
20	19	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))
21	20	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
23		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
24		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
25		ovexd 7393	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ V)
26	17, 22, 23, 24, 25	ovmpod 7510	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
27	26	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))))
28	27	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
29	28	mpoeq3dva 7435	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
30		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) = (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏))
31	30	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))
32	31	mpteq2dv 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))
33	32	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
34	33	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))))
35	34	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
36		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑗)
37	36	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) = (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗))
38	37	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))
39	38	mpteq2dva 5191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))
40	39	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))
41	40	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
42	41	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
43	35, 42	cbvmpov 7453	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
44	29, 43	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
45	10, 16, 44	3eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Fincfn 8883  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136   ·_𝑠 cvsca 17181   Σ_g cgsu 17360  ._gcmg 18997  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118   Mat cmat 22351   decompPMat cdecpmat 22706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mat 22352  df-decpmat 22707

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem4  22753