Theorem mp2pm2mplem3 22946

Description: Lemma 3 for mp2pm2mp 22949. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mp2pm2mp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mp2pm2mp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mp2pm2mp.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
mp2pm2mp.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mp2pm2mplem3	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗   · ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐸(𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐾(𝑘,𝑝)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem mp2pm2mplem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mp2pm2mp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mp2pm2mp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
3		mp2pm2mp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
4		mp2pm2mp.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		mp2pm2mp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6		mp2pm2mp.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
7		mp2pm2mp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mp2pm2mplem1 22944	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
9	8	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾))
10	9	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾))
11		mp2pm2mplem2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13	mp2pm2mplem2 22945	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
15	12, 13	decpmatval 22903	. . 3 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)))
16	14, 15	sylan 591	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)))
17		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
18		oveq12 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏))
19	18	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))
20	19	mpteq2dv 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))
21	20	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
22	21	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
23		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
24		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
25		ovexd 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ V)
26	17, 22, 23, 24, 25	ovmpod 7564	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
27	26	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))))
28	27	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
29	28	mpoeq3dva 7489	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
30		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) = (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏))
31	30	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))
32	31	mpteq2dv 5206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))
33	32	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
34	33	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))))
35	34	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
36		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑗)
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) = (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗))
38	37	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))
39	38	mpteq2dva 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))
40	39	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))
41	40	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
42	41	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
43	35, 42	cbvmpov 7507	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
44	29, 43	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
45	10, 16, 44	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Fincfn 8944  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270   ·_𝑠 cvsca 17315   Σ_g cgsu 17494  ._gcmg 19134  mulGrpcmgp 20217  Ringcrg 20316  var₁cv1 22317  Poly₁cpl1 22318  coe₁cco1 22319   Mat cmat 22545   decompPMat cdecpmat 22900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-coe1 22324  df-mat 22546  df-decpmat 22901

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem4  22947