MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem3 22723
Description: Lemma 3 for mp2pm2mp 22726. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mp2pm2mp.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
mp2pm2mp.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
mp2pm2mp.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mp2pm2mp.e ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
mp2pm2mp.y ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
mp2pm2mp.i ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ)))
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘   ๐‘–,๐‘‚,๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐‘Œ,๐‘   ยท ,๐‘   ๐‘˜,๐ฟ   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   ๐‘–,๐ธ,๐‘—   ๐‘–,๐พ,๐‘—   ๐‘–,๐ฟ,๐‘—   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐‘Œ,๐‘—   ยท ,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐‘„(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐ธ(๐‘˜)   ๐ผ(๐‘–,๐‘—,๐‘˜,๐‘)   ๐พ(๐‘˜,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘˜)

Proof of Theorem mp2pm2mplem3
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mp2pm2mp.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mp2pm2mp.q . . . . 5 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
3 mp2pm2mp.l . . . . 5 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
4 mp2pm2mp.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
5 mp2pm2mp.e . . . . 5 ๐ธ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
6 mp2pm2mp.y . . . . 5 ๐‘Œ = (var1โ€˜๐‘…)
7 mp2pm2mp.i . . . . 5 ๐ผ = (๐‘ โˆˆ ๐ฟ โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mp2pm2mplem1 22721 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ผโ€˜๐‘‚) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
98oveq1d 7428 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐พ) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) decompPMat ๐พ))
109adantr 479 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐พ) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) decompPMat ๐พ))
11 mp2pm2mplem2.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
12 eqid 2725 . . . 4 (๐‘ Mat ๐‘ƒ) = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
13 eqid 2725 . . . 4 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13mp2pm2mplem2 22722 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)))
1512, 13decpmatval 22680 . . 3 (((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘ƒ)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) decompPMat ๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))๐‘))โ€˜๐พ)))
1614, 15sylan 578 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) decompPMat ๐พ) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))๐‘))โ€˜๐พ)))
17 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
18 oveq12 7422 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) = (๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘))
1918oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) = ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))
2019mpteq2dv 5246 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))
2120oveq2d 7429 . . . . . . . 8 ((๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))
2221adantl 480 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘– = ๐‘Ž โˆง ๐‘— = ๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))
23 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘)
24 simp3 1135 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
25 ovexd 7448 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) โˆˆ V)
2617, 22, 23, 24, 25ovmpod 7567 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))๐‘) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))
2726fveq2d 6894 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))๐‘)) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
2827fveq1d 6892 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))๐‘))โ€˜๐พ) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ))
2928mpoeq3dva 7491 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))๐‘))โ€˜๐พ)) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ)))
30 oveq1 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) = (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘))
3130oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) = ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))
3231mpteq2dv 5246 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))
3332oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))
3433fveq2d 6894 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
3534fveq1d 6892 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ))
36 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = ๐‘— โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ = ๐‘—)
3736oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 ((๐‘ = ๐‘— โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) = (๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—))
3837oveq1d 7428 . . . . . . . 8 ((๐‘ = ๐‘— โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)) = ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))
3938mpteq2dva 5244 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))
4039oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))
4140fveq2d 6894 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ))))))
4241fveq1d 6892 . . . 4 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ))
4335, 42cbvmpov 7509 . . 3 (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ))
4429, 43eqtrdi 2781 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘Ž(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))๐‘))โ€˜๐พ)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ)))
4510, 16, 443eqtrd 2769 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‚ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ผโ€˜๐‘‚) decompPMat ๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘–((coe1โ€˜๐‘‚)โ€˜๐‘˜)๐‘—) ยท (๐‘˜๐ธ๐‘Œ)))))โ€˜๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   โˆˆ cmpo 7415  Fincfn 8957  โ„•0cn0 12497  Basecbs 17174   ยท๐‘  cvsca 17231   ฮฃg cgsu 17416  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100   Mat cmat 22320   decompPMat cdecpmat 22677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-mat 22321  df-decpmat 22678
This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem4  22724
  Copyright terms: Public domain W3C validator