Theorem mp2pm2mplem3 22684

Description: Lemma 3 for mp2pm2mp 22687. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mp2pm2mp.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
mp2pm2mp.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mp2pm2mp.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y	⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
mp2pm2mp.i	⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mp2pm2mplem3	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗   · ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐸(𝑘)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐾(𝑘,𝑝)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem mp2pm2mplem3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mp2pm2mp.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mp2pm2mp.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
3		mp2pm2mp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
4		mp2pm2mp.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
5		mp2pm2mp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6		mp2pm2mp.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (var1‘𝑅)
7		mp2pm2mp.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mp2pm2mplem1 22682	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝐼‘𝑂) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
9	8	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾))
11		mp2pm2mplem2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
13		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13	mp2pm2mplem2 22683	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
15	12, 13	decpmatval 22641	. . 3 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)))
16	14, 15	sylan 579	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) decompPMat 𝐾) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)))
17		eqidd 2728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
18		oveq12 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) = (𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏))
19	18	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))
20	19	mpteq2dv 5244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))
21	20	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑎 ∧ 𝑗 = 𝑏)) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
23		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
24		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
25		ovexd 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) ∈ V)
26	17, 22, 23, 24, 25	ovmpod 7565	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
27	26	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏)) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))))
28	27	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
29	28	mpoeq3dva 7491	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
30		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) = (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏))
31	30	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))
32	31	mpteq2dv 5244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))
33	32	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))
34	33	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))))
35	34	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
36		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑗)
37	36	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) = (𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗))
38	37	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑗 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))
39	38	mpteq2dva 5242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))
40	39	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))
41	40	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
42	41	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑗 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
43	35, 42	cbvmpov 7509	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑏) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾))
44	29, 43	eqtrdi 2783	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑎(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))𝑏))‘𝐾)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))
45	10, 16, 44	3eqtrd 2771	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘𝑂) decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1‘𝑂)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8953  ℕ₀cn0 12488  Basecbs 17165   ·_𝑠 cvsca 17222   Σ_g cgsu 17407  ._gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  var₁cv1 22069  Poly₁cpl1 22070  coe₁cco1 22071   Mat cmat 22281   decompPMat cdecpmat 22638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076  df-mat 22282  df-decpmat 22639

This theorem is referenced by:  mp2pm2mplem4  22685