MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmatcl 20791
Description: Closure of the decomposition of a polynomial matrix: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is a matrix. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmate.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmate.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatcl.d 𝐷 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmatcl ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem decpmatcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmate.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 decpmate.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2decpmatval 20789 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
433adant1 1124 . 2 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
5 decpmatcl.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 decpmatcl.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐴)
81, 2matrcl 20434 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
98simpld 482 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
1093ad2ant2 1128 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
11 simp1 1130 . . 3 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅𝑉)
12 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13 simp2 1131 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
14 simp3 1132 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
15 simp2 1131 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀𝐵)
16153ad2ant1 1127 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
171, 12, 2, 13, 14, 16matecld 20448 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
18 simp3 1132 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
19183ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20 eqid 2771 . . . . 5 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
21 decpmate.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2220, 12, 21, 6coe1fvalcl 19796 . . . 4 (((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
2317, 19, 22syl2anc 573 . . 3 (((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
245, 6, 7, 10, 11, 23matbas2d 20445 . 2 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) ∈ 𝐷)
254, 24eqeltrd 2850 1 ((𝑅𝑉𝑀𝐵𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cfv 6030  (class class class)co 6795  cmpt2 6797  Fincfn 8112  0cn0 11498  Basecbs 16063  Poly1cpl1 19761  coe1cco1 19762   Mat cmat 20429   decompPMat cdecpmat 20786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-ot 4326  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-sup 8507  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-prds 16315  df-pws 16317  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-psr 19570  df-opsr 19574  df-psr1 19764  df-ply1 19766  df-coe1 19767  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-mat 20430  df-decpmat 20787
This theorem is referenced by:  decpmataa0  20792  decpmatmul  20796  pmatcollpw1  20800  pmatcollpw2  20802  pmatcollpwlem  20804  pmatcollpw  20805  pmatcollpwfi  20806  pmatcollpwscmatlem2  20814  pm2mpf1lem  20818  pm2mpcl  20821  pm2mpcoe1  20824  mp2pm2mplem5  20834  mp2pm2mp  20835  pm2mpghmlem2  20836  pm2mpghmlem1  20837  pm2mpghm  20840  pm2mpmhmlem2  20843
  Copyright terms: Public domain W3C validator