Theorem decpmatcl 22251

Description: Closure of the decomposition of a polynomial matrix: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is a matrix. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmate.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmate.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatcl.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmatcl	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem decpmatcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmate.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		decpmate.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	decpmatval 22249	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
4	3	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
5		decpmatcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		decpmatcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
8	1, 2	matrcl 21894	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simpld 496	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
11		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
14		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
15		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16	15	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
17	1, 12, 2, 13, 14, 16	matecld 21910	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
18		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
19	18	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
21		decpmate.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
22	20, 12, 21, 6	coe1fvalcl 21718	. . . 4 ⊢ (((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
23	17, 19, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
24	5, 6, 7, 10, 11, 23	matbas2d 21907	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) ∈ 𝐷)
25	4, 24	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  Fincfn 8935  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  Poly₁cpl1 21683  coe₁cco1 21684   Mat cmat 21889   decompPMat cdecpmat 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-psr 21444  df-opsr 21448  df-psr1 21686  df-ply1 21688  df-coe1 21689  df-mat 21890  df-decpmat 22247

This theorem is referenced by:  decpmataa0  22252  decpmatmul  22256  pmatcollpw1  22260  pmatcollpw2  22262  pmatcollpwlem  22264  pmatcollpw  22265  pmatcollpwfi  22266  pmatcollpwscmatlem2  22274  pm2mpf1lem  22278  pm2mpcl  22281  pm2mpcoe1  22284  mp2pm2mplem5  22294  mp2pm2mp  22295  pm2mpghmlem2  22296  pm2mpghmlem1  22297  pm2mpghm  22300  pm2mpmhmlem2  22303