Theorem decpmatcl 22685

Description: Closure of the decomposition of a polynomial matrix: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is a matrix. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmate.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmate.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatcl.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmatcl	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem decpmatcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmate.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		decpmate.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	decpmatval 22683	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
4	3	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
5		decpmatcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		decpmatcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
8	1, 2	matrcl 22330	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
11		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
14		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
15		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
17	1, 12, 2, 13, 14, 16	matecld 22344	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
18		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
21		decpmate.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
22	20, 12, 21, 6	coe1fvalcl 22128	. . . 4 ⊢ (((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
23	17, 19, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
24	5, 6, 7, 10, 11, 23	matbas2d 22341	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) ∈ 𝐷)
25	4, 24	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∈ cmpo 7356  Fincfn 8877  ℕ₀cn0 12390  Basecbs 17124  Poly₁cpl1 22092  coe₁cco1 22093   Mat cmat 22325   decompPMat cdecpmat 22680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-prds 17355  df-pws 17357  df-sra 21111  df-rgmod 21112  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-psr 21850  df-opsr 21854  df-psr1 22095  df-ply1 22097  df-coe1 22098  df-mat 22326  df-decpmat 22681

This theorem is referenced by:  decpmataa0  22686  decpmatmul  22690  pmatcollpw1  22694  pmatcollpw2  22696  pmatcollpwlem  22698  pmatcollpw  22699  pmatcollpwfi  22700  pmatcollpwscmatlem2  22708  pm2mpf1lem  22712  pm2mpcl  22715  pm2mpcoe1  22718  mp2pm2mplem5  22728  mp2pm2mp  22729  pm2mpghmlem2  22730  pm2mpghmlem1  22731  pm2mpghm  22734  pm2mpmhmlem2  22737