Theorem decpmatcl 22998

Description: Closure of the decomposition of a polynomial matrix: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is a matrix. (Contributed by AV, 28-Sep-2019.) (Revised by AV, 2-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmate.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmate.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatcl.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmatcl	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem decpmatcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmate.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		decpmate.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	decpmatval 22996	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
4	3	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)))
5		decpmatcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		decpmatcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
8	1, 2	matrcl 22640	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
11		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ 𝑉)
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
13		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
14		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
15		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16	15	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
17	1, 12, 2, 13, 14, 16	matecld 22654	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
18		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
19	18	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
21		decpmate.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
22	20, 12, 21, 6	coe1fvalcl 22443	. . . 4 ⊢ (((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
23	17, 19, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
24	5, 6, 7, 10, 11, 23	matbas2d 22651	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝐾)) ∈ 𝐷)
25	4, 24	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝐾) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  Fincfn 8956  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307  Poly₁cpl1 22408  coe₁cco1 22409   Mat cmat 22635   decompPMat cdecpmat 22993

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-psr 22130  df-opsr 22134  df-psr1 22411  df-ply1 22413  df-coe1 22414  df-mat 22636  df-decpmat 22994

This theorem is used by:  decpmataa0  22999  decpmatmul  23003  pmatcollpw1  23007  pmatcollpw2  23009  pmatcollpwlem  23011  pmatcollpw  23012  pmatcollpwfi  23013  pmatcollpwscmatlem2  23021  pm2mpf1lem  23025  pm2mpcl  23028  pm2mpcoe1  23031  mp2pm2mplem5  23041  mp2pm2mp  23042  pm2mpghmlem2  23043  pm2mpghmlem1  23044  pm2mpghm  23047  pm2mpmhmlem2  23050