Theorem gpgprismgr4cyclex 49420

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, have (at least) one cycle of length 4. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cyclex	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑝

Proof of Theorem gpgprismgr4cyclex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s5cli 15065	. . 3 ⊢ ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word V
2		s4cli 15064	. . 3 ⊢ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ ∈ Word V
3	1, 2	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ ∈ Word V)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 1) = (𝑁 gPetersenGr 1)
7	4, 5, 6	gpgprismgr4cycl0 49419	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∧ (♯‘⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) = 4))
8		breq12 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ ∧ 𝑝 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩) → (𝑓(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))𝑝 ↔ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩))
9	8	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑝 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) → (𝑓(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))𝑝 ↔ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩))
10		fveqeq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → ((♯‘𝑓) = 4 ↔ (♯‘⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) = 4))
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑝 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) → ((♯‘𝑓) = 4 ↔ (♯‘⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) = 4))
12	9, 11	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑝 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∧ 𝑓 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) → ((𝑓(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4) ↔ (⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∧ (♯‘⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) = 4)))
13	12	spc2egv 3557	. 2 ⊢ ((⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ ∈ Word V) → ((⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∧ (♯‘⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩) = 4) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4)))
14	3, 7, 13	mpsyl 69	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝∃𝑓(𝑓(Cycles‘(𝑁 gPetersenGr 1))𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231  3c3 12428  4c4 12429  ℤ_≥cuz 12995  ♯chash 14504  Word cword 14688  ⟨“cs4 15025  ⟨“cs5 15026  Cyclesccycls 30405   gPetersenGr cgpg 49353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ico 13512  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-ceil 13963  df-mod 14040  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-s2 15030  df-s3 15031  df-s4 15032  df-s5 15033  df-dvds 16455  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-edgf 29600  df-vtx 29609  df-iedg 29610  df-edg 29659  df-uhgr 29669  df-upgr 29693  df-uspgr 29764  df-usgr 29765  df-wlks 30213  df-trls 30308  df-pths 30332  df-cycls 30407  df-gpg 49354

This theorem is used by:  gpg5ngric  49441