Theorem hbtlem4 42615

Description: The leading ideal function goes to increasing sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
hbtlem.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s	⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
hbtlem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
hbtlem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
hbtlem4.xy	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
hbtlem4	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Proof of Theorem hbtlem4

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
3		hbtlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ Ring)
6		hbtlem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
7	6	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 9	mgpbas 20084	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
11		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12	8	ringmgp 20183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
14		hbtlem4.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		hbtlem4.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℕ0)
18		hbtlem4.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		nn0sub2 12653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
22		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
23	22, 3, 9	vr1cl 22145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
25	10, 11, 13, 21, 24	mulgnn0cld 19054	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
26		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝐼)
27		hbtlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
28		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
29	27, 9, 28	lidlmcl 21125	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
30	5, 7, 25, 26, 29	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
31		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
32	9, 27	lidlss 21112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
33	7, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
34	33, 26	sseldd 3978	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑃))
35	31, 3, 22, 8, 11	deg1pwle 26085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
36	2, 21, 35	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
37		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋)
38	3, 31, 2, 9, 28, 25, 34, 21, 15, 36, 37	deg1mulle2 26075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋))
39	17	nn0cnd 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℂ)
40	15	nn0cnd 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	39, 40	npcand 11605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
42	38, 41	breqtrd 5174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌)
43		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	43, 3, 22, 8, 11, 9, 28, 2, 34, 21, 15	coe1pwmulfv 22208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))
45	41	fveq2d 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
46	44, 45	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
47		fveq2 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) = (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
48	47	breq1d 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌))
49		fveq2 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (coe1‘𝑏) = (coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
50	49	fveq1d 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((coe1‘𝑏)‘𝑌) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
51	50	eqeq2d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌)))
52	48, 51	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ((( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))))
53	52	rspcev 3607	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
54	30, 42, 46, 53	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
55		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
56	55	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
57	56	rexbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
58	54, 57	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
59	58	expimpd 452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
60	59	rexlimdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
61	60	ss2abdv 4058	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
62		hbtlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
63	3, 27, 62, 31	hbtlem1 42612	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
64	1, 6, 14, 63	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
65	3, 27, 62, 31	hbtlem1 42612	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
66	1, 6, 16, 65	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
67	61, 64, 66	3sstr4d 4025	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417   + caddc 11141   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  0_gc0g 17420  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  LIdealclidl 21106  var₁cv1 22103  Poly₁cpl1 22104  coe₁cco1 22105   deg₁ cdg1 26017  ldgIdlSeqcldgis 42610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-cnfld 21284  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mdeg 26018  df-deg1 26019  df-ldgis 42611

This theorem is referenced by:  hbt  42619