Theorem hbtlem4 42472

Description: The leading ideal function goes to increasing sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
hbtlem.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s	⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
hbtlem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
hbtlem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
hbtlem4.xy	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
hbtlem4	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Proof of Theorem hbtlem4

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
3		hbtlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ Ring)
6		hbtlem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
7	6	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9		eqid 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 9	mgpbas 20071	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
11		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12	8	ringmgp 20170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
14		hbtlem4.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		hbtlem4.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℕ0)
18		hbtlem4.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		nn0sub2 12645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
22		eqid 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
23	22, 3, 9	vr1cl 22123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
25	10, 11, 13, 21, 24	mulgnn0cld 19041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
26		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝐼)
27		hbtlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
28		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
29	27, 9, 28	lidlmcl 21110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
30	5, 7, 25, 26, 29	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
31		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
32	9, 27	lidlss 21097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
33	7, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
34	33, 26	sseldd 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑃))
35	31, 3, 22, 8, 11	deg1pwle 26042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
36	2, 21, 35	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋)
38	3, 31, 2, 9, 28, 25, 34, 21, 15, 36, 37	deg1mulle2 26032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋))
39	17	nn0cnd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℂ)
40	15	nn0cnd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	39, 40	npcand 11597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
42	38, 41	breqtrd 5168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌)
43		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	43, 3, 22, 8, 11, 9, 28, 2, 34, 21, 15	coe1pwmulfv 22186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))
45	41	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
46	44, 45	eqtr3d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
47		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) = (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
48	47	breq1d 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌))
49		fveq2 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (coe1‘𝑏) = (coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
50	49	fveq1d 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((coe1‘𝑏)‘𝑌) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
51	50	eqeq2d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌)))
52	48, 51	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ((( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))))
53	52	rspcev 3607	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼 ∧ ((( deg1 ‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
54	30, 42, 46, 53	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
55		eqeq1 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
56	55	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
57	56	rexbidv 3173	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
58	54, 57	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ (( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
59	58	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
60	59	rexlimdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
61	60	ss2abdv 4056	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
62		hbtlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
63	3, 27, 62, 31	hbtlem1 42469	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
64	1, 6, 14, 63	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
65	3, 27, 62, 31	hbtlem1 42469	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
66	1, 6, 16, 65	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
67	61, 64, 66	3sstr4d 4025	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   + caddc 11133   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℕ₀cn0 12494  Basecbs 17171  ._rcmulr 17225  0_gc0g 17412  Mndcmnd 18685  ._gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  LIdealclidl 21091  var₁cv1 22082  Poly₁cpl1 22083  coe₁cco1 22084   deg₁ cdg1 25974  ldgIdlSeqcldgis 42467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-cnfld 21267  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-coe1 22089  df-mdeg 25975  df-deg1 25976  df-ldgis 42468

This theorem is referenced by:  hbt  42476