Theorem hbtlem4 43115

Description: The leading ideal function goes to increasing sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
hbtlem.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s	⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
hbtlem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
hbtlem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
hbtlem4.xy	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
hbtlem4	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Proof of Theorem hbtlem4

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
3		hbtlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ Ring)
6		hbtlem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 9	mgpbas 20054	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12	8	ringmgp 20148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
14		hbtlem4.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		hbtlem4.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℕ0)
18		hbtlem4.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		nn0sub2 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
23	22, 3, 9	vr1cl 22102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
25	10, 11, 13, 21, 24	mulgnn0cld 19027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
26		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝐼)
27		hbtlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
28		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
29	27, 9, 28	lidlmcl 21135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
30	5, 7, 25, 26, 29	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
31		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
32	9, 27	lidlss 21122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
33	7, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
34	33, 26	sseldd 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑃))
35	31, 3, 22, 8, 11	deg1pwle 26025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0) → ((deg1‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
36	2, 21, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋)
38	3, 31, 2, 9, 28, 25, 34, 21, 15, 36, 37	deg1mulle2 26014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋))
39	17	nn0cnd 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℂ)
40	15	nn0cnd 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	39, 40	npcand 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
42	38, 41	breqtrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌)
43		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	43, 3, 22, 8, 11, 9, 28, 2, 34, 21, 15	coe1pwmulfv 22166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))
45	41	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
46	44, 45	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
47		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((deg1‘𝑅)‘𝑏) = ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
48	47	breq1d 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌))
49		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (coe1‘𝑏) = (coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
50	49	fveq1d 6860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((coe1‘𝑏)‘𝑌) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
51	50	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌)))
52	48, 51	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ (((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))))
53	52	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼 ∧ (((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
54	30, 42, 46, 53	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
55		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
56	55	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
57	56	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
58	54, 57	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
59	58	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
60	59	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
61	60	ss2abdv 4029	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
62		hbtlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
63	3, 27, 62, 31	hbtlem1 43112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
64	1, 6, 14, 63	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
65	3, 27, 62, 31	hbtlem1 43112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
66	1, 6, 16, 65	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
67	61, 64, 66	3sstr4d 4002	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   + caddc 11071   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142  LIdealclidl 21116  var₁cv1 22060  Poly₁cpl1 22061  coe₁cco1 22062  deg₁cdg1 25959  ldgIdlSeqcldgis 43110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-cnfld 21265  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-ldgis 43111

This theorem is referenced by:  hbt  43119