Theorem hbtlem4 43404

Description: The leading ideal function goes to increasing sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
hbtlem.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s	⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
hbtlem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
hbtlem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
hbtlem4.xy	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
hbtlem4	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Proof of Theorem hbtlem4

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
3		hbtlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ Ring)
6		hbtlem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
7	6	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 9	mgpbas 20084	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12	8	ringmgp 20178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
14		hbtlem4.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		hbtlem4.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℕ0)
18		hbtlem4.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		nn0sub2 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
23	22, 3, 9	vr1cl 22162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
25	10, 11, 13, 21, 24	mulgnn0cld 19029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
26		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝐼)
27		hbtlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
28		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
29	27, 9, 28	lidlmcl 21184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
30	5, 7, 25, 26, 29	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
31		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
32	9, 27	lidlss 21171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
33	7, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
34	33, 26	sseldd 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑃))
35	31, 3, 22, 8, 11	deg1pwle 26085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0) → ((deg1‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
36	2, 21, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋)
38	3, 31, 2, 9, 28, 25, 34, 21, 15, 36, 37	deg1mulle2 26074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋))
39	17	nn0cnd 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℂ)
40	15	nn0cnd 12468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	39, 40	npcand 11500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
42	38, 41	breqtrd 5125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌)
43		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	43, 3, 22, 8, 11, 9, 28, 2, 34, 21, 15	coe1pwmulfv 22226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))
45	41	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
46	44, 45	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
47		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((deg1‘𝑅)‘𝑏) = ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
48	47	breq1d 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌))
49		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (coe1‘𝑏) = (coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
50	49	fveq1d 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((coe1‘𝑏)‘𝑌) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
51	50	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌)))
52	48, 51	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ (((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))))
53	52	rspcev 3577	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼 ∧ (((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
54	30, 42, 46, 53	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
55		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
56	55	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
57	56	rexbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
58	54, 57	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
59	58	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
60	59	rexlimdva 3138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
61	60	ss2abdv 4018	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
62		hbtlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
63	3, 27, 62, 31	hbtlem1 43401	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
64	1, 6, 14, 63	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
65	3, 27, 62, 31	hbtlem1 43401	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
66	1, 6, 16, 65	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
67	61, 64, 66	3sstr4d 3990	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   + caddc 11033   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12405  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17363  Mndcmnd 18663  ._gcmg 19001  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20172  LIdealclidl 21165  var₁cv1 22120  Poly₁cpl1 22121  coe₁cco1 22122  deg₁cdg1 26019  ldgIdlSeqcldgis 43399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-cnfld 21314  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-ldgis 43400

This theorem is referenced by:  hbt  43408