Theorem hbtlem4 43099

Description: The leading ideal function goes to increasing sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
hbtlem.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
hbtlem.s	⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
hbtlem4.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
hbtlem4.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
hbtlem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
hbtlem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
hbtlem4.xy	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
hbtlem4	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Proof of Theorem hbtlem4

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbtlem4.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑅 ∈ Ring)
3		hbtlem.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 22148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ Ring)
6		hbtlem4.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑈)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ∈ 𝑈)
8		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 9	mgpbas 20048	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12	8	ringmgp 20142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
13	5, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
14		hbtlem4.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		hbtlem4.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℕ0)
18		hbtlem4.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ≤ 𝑌)
20		nn0sub2 12555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0)
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
23	22, 3, 9	vr1cl 22118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
25	10, 11, 13, 21, 24	mulgnn0cld 18992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
26		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝐼)
27		hbtlem.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
28		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
29	27, 9, 28	lidlmcl 21150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼)) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
30	5, 7, 25, 26, 29	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼)
31		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
32	9, 27	lidlss 21137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
33	7, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑃))
34	33, 26	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑃))
35	31, 3, 22, 8, 11	deg1pwle 26041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℕ0) → ((deg1‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
36	2, 21, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ (𝑌 − 𝑋))
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋)
38	3, 31, 2, 9, 28, 25, 34, 21, 15, 36, 37	deg1mulle2 26030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋))
39	17	nn0cnd 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℂ)
40	15	nn0cnd 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
41	39, 40	npcand 11497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((𝑌 − 𝑋) + 𝑋) = 𝑌)
42	38, 41	breqtrd 5121	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌)
43		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	43, 3, 22, 8, 11, 9, 28, 2, 34, 21, 15	coe1pwmulfv 22182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))
45	41	fveq2d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘((𝑌 − 𝑋) + 𝑋)) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
46	44, 45	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
47		fveq2 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((deg1‘𝑅)‘𝑏) = ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
48	47	breq1d 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ↔ ((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌))
49		fveq2 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (coe1‘𝑏) = (coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)))
50	49	fveq1d 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((coe1‘𝑏)‘𝑌) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))
51	50	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → (((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌)))
52	48, 51	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ (((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))))
53	52	rspcev 3579	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐) ∈ 𝐼 ∧ (((deg1‘𝑅)‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐)) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘(((𝑌 − 𝑋)(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))(.r‘𝑃)𝑐))‘𝑌))) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
54	30, 42, 46, 53	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
55		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌) ↔ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)))
56	55	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
57	56	rexbidv 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → (∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ ((coe1‘𝑐)‘𝑋) = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
58	54, 57	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ ((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋) → (𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
59	58	expimpd 453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → ((((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
60	59	rexlimdva 3130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))))
61	60	ss2abdv 4020	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
62		hbtlem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ldgIdlSeq‘𝑅)
63	3, 27, 62, 31	hbtlem1 43096	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
64	1, 6, 14, 63	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) = {𝑎 ∣ ∃𝑐 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑐) ≤ 𝑋 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑐)‘𝑋))})
65	3, 27, 62, 31	hbtlem1 43096	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
66	1, 6, 16, 65	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑌) = {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐼 (((deg1‘𝑅)‘𝑏) ≤ 𝑌 ∧ 𝑎 = ((coe1‘𝑏)‘𝑌))})
67	61, 64, 66	3sstr4d 3993	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐼)‘𝑋) ⊆ ((𝑆‘𝐼)‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18626  ._gcmg 18964  mulGrpcmgp 20043  Ringcrg 20136  LIdealclidl 21131  var₁cv1 22076  Poly₁cpl1 22077  coe₁cco1 22078  deg₁cdg1 25975  ldgIdlSeqcldgis 43094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-cnfld 21280  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-coe1 22083  df-mdeg 25976  df-deg1 25977  df-ldgis 43095

This theorem is referenced by:  hbt  43103