Theorem matepmcl 22468

Description: Each entry of a matrix with an index as permutation of the other is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matepmcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matepmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matepmcl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
matepmcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑄,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem matepmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		matepmcl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
3	1, 2	symgfv 19397	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
4	3	3ad2antl2 1187	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝑛 ∈ 𝑁)
6		matepmcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7	6	eleq2i 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
9	8	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
11		matepmcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13	11, 12	matecl 22431	. . 3 ⊢ (((𝑄‘𝑛) ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
14	4, 5, 10, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	ralrimiva 3146	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412

This theorem is referenced by:  madetsmelbas  22470  m2detleiblem2  22634  m2detleiblem3  22635  m2detleiblem4  22636