MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matepmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matepmcl 21071
Description: Each entry of a matrix with an index as permutation of the other is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matepmcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matepmcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matepmcl.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
matepmcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem matepmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 matepmcl.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
31, 2symgfv 18504 . . . 4 ((𝑄𝑃𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
433ad2antl2 1183 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) ∧ 𝑛𝑁) → (𝑄𝑛) ∈ 𝑁)
5 simpr 488 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑛𝑁)
6 matepmcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
76eleq2i 2884 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
87biimpi 219 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
983ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
109adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
11 matepmcl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
12 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1311, 12matecl 21034 . . 3 (((𝑄𝑛) ∈ 𝑁𝑛𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
144, 5, 10, 13syl3anc 1368 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
1514ralrimiva 3152 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479  SymGrpcsymg 18491  Ringcrg 19294   Mat cmat 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-prds 16717  df-pws 16719  df-efmnd 18030  df-symg 18492  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-mat 21017
This theorem is referenced by:  madetsmelbas  21073  m2detleiblem2  21237  m2detleiblem3  21238  m2detleiblem4  21239
  Copyright terms: Public domain W3C validator