Theorem 23prm 17121

Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
23prm	⊢ ;23 ∈ ℙ

Proof of Theorem 23prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12541	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn 12343	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12749	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ
4		2nn 12337	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		3nn0 12542	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12540	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12868	. . 3 ⊢ 1 < ;10
8	4, 5, 6, 7	declti 12767	. 2 ⊢ 1 < ;23
9	4	nncni 12274	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11269	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
11		df-3 12328	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	1, 6, 10, 11	dec2dvds 17065	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;23
13		7nn0 12546	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
14		7cn 12358	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
15	2	nncni 12274	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
16		7t3e21 12839	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
17	14, 15, 16	mulcomli 11273	. . . 4 ⊢ (3 · 7) = ;21
18		1p2e3 12407	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
19	1, 6, 1, 17, 18	decaddi 12789	. . 3 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
20		2lt3 12436	. . 3 ⊢ 2 < 3
21	2, 13, 4, 19, 20	ndvdsi 16414	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;23
22		5nn 12350	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
23		3lt5 12442	. . 3 ⊢ 3 < 5
24	1, 5, 22, 23	declt 12757	. 2 ⊢ ;23 < ;25
25	3, 8, 12, 21, 24	prmlem1 17110	1 ⊢ ;23 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7424  1c1 11159   · cmul 11163  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  7c7 12324  ;cdc 12729  ℙcprime 16672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-prm 16673

This theorem is referenced by:  bpos1  27312