MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  23prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 23prm 17153
Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
23prm 23 ∈ ℙ

Proof of Theorem 23prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 12541 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 3nn 12343 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12751 . 2 23 ∈ ℕ
4 2nn 12337 . . 3 2 ∈ ℕ
5 3nn0 12542 . . 3 3 ∈ ℕ0
6 1nn0 12540 . . 3 1 ∈ ℕ0
7 1lt10 12870 . . 3 1 < 10
84, 5, 6, 7declti 12769 . 2 1 < 23
94nncni 12274 . . . 4 2 ∈ ℂ
109mullidi 11264 . . 3 (1 · 2) = 2
11 df-3 12328 . . 3 3 = (2 + 1)
121, 6, 10, 11dec2dvds 17097 . 2 ¬ 2 ∥ 23
13 7nn0 12546 . . 3 7 ∈ ℕ0
14 7cn 12358 . . . . 5 7 ∈ ℂ
152nncni 12274 . . . . 5 3 ∈ ℂ
16 7t3e21 12841 . . . . 5 (7 · 3) = 21
1714, 15, 16mulcomli 11268 . . . 4 (3 · 7) = 21
18 1p2e3 12407 . . . 4 (1 + 2) = 3
191, 6, 1, 17, 18decaddi 12791 . . 3 ((3 · 7) + 2) = 23
20 2lt3 12436 . . 3 2 < 3
212, 13, 4, 19, 20ndvdsi 16446 . 2 ¬ 3 ∥ 23
22 5nn 12350 . . 3 5 ∈ ℕ
23 3lt5 12442 . . 3 3 < 5
241, 5, 22, 23declt 12759 . 2 23 < 25
253, 8, 12, 21, 24prmlem1 17142 1 23 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7431  1c1 11154   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  7c7 12324  cdc 12731  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  bpos1  27342
  Copyright terms: Public domain W3C validator