Theorem 23prm 17044

Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
23prm	⊢ ;23 ∈ ℙ

Proof of Theorem 23prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12416	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn 12222	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12625	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ
4		2nn 12216	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		3nn0 12417	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12415	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12744	. . 3 ⊢ 1 < ;10
8	4, 5, 6, 7	declti 12643	. 2 ⊢ 1 < ;23
9	4	nncni 12153	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11135	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
11		df-3 12207	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	1, 6, 10, 11	dec2dvds 16989	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;23
13		7nn0 12421	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
14		7cn 12237	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
15	2	nncni 12153	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
16		7t3e21 12715	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
17	14, 15, 16	mulcomli 11139	. . . 4 ⊢ (3 · 7) = ;21
18		1p2e3 12281	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
19	1, 6, 1, 17, 18	decaddi 12665	. . 3 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
20		2lt3 12310	. . 3 ⊢ 2 < 3
21	2, 13, 4, 19, 20	ndvdsi 16337	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;23
22		5nn 12229	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
23		3lt5 12316	. . 3 ⊢ 3 < 5
24	1, 5, 22, 23	declt 12633	. 2 ⊢ ;23 < ;25
25	3, 8, 12, 21, 24	prmlem1 17033	1 ⊢ ;23 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  1c1 11025   · cmul 11029  2c2 12198  3c3 12199  5c5 12201  7c7 12203  ;cdc 12605  ℙcprime 16596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-prm 16597

This theorem is referenced by:  bpos1  27248