Theorem 23prm 17201

Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
23prm	⊢ ;23 ∈ ℙ

Proof of Theorem 23prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12536	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn 12335	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ
4		2nn 12329	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		3nn0 12537	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12535	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12872	. . 3 ⊢ 1 < ;10
8	4, 5, 6, 7	declti 12770	. 2 ⊢ 1 < ;23
9	4	nncni 12258	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mullidi 11229	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
11		df-3 12319	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	1, 6, 10, 11	dec2dvds 17145	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;23
13		7nn0 12541	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
14		7cn 12350	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
15	2	nncni 12258	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
16		7t3e21 12842	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
17	14, 15, 16	mulcomli 11233	. . . 4 ⊢ (3 · 7) = ;21
18		1p2e3 12398	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
19	1, 6, 1, 17, 18	decaddi 12792	. . 3 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
20		2lt3 12429	. . 3 ⊢ 2 < 3
21	2, 13, 4, 19, 20	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;23
22		5nn 12342	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
23		3lt5 12436	. . 3 ⊢ 3 < 5
24	1, 5, 22, 23	declt 12760	. 2 ⊢ ;23 < ;25
25	3, 8, 12, 21, 24	prmlem1 17189	1 ⊢ ;23 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  1c1 11116   · cmul 11120  2c2 12310  3c3 12311  5c5 12313  7c7 12315  ;cdc 12727  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-prm 16752

This theorem is used by:  bpos1  27498