Theorem 23prm 16034

Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
23prm	⊢ ;23 ∈ ℙ

Proof of Theorem 23prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11512	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		3nn 11389	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11721	. 2 ⊢ ;23 ∈ ℕ
4		2nn 11388	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
5		3nn0 11513	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 11511	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 11883	. . 3 ⊢ 1 < ;10
8	4, 5, 6, 7	declti 11749	. 2 ⊢ 1 < ;23
9	4	nncni 11233	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
10	9	mulid2i 10246	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
11		df-3 11283	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
12	1, 6, 10, 11	dec2dvds 15975	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;23
13		7nn0 11517	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
14		7cn 11307	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℂ
15	2	nncni 11233	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
16		7t3e21 11851	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
17	14, 15, 16	mulcomli 10250	. . . 4 ⊢ (3 · 7) = ;21
18		1p2e3 11355	. . . 4 ⊢ (1 + 2) = 3
19	1, 6, 1, 17, 18	decaddi 11781	. . 3 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
20		2lt3 11398	. . 3 ⊢ 2 < 3
21	2, 13, 4, 19, 20	ndvdsi 15345	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;23
22		5nn 11391	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
23		3lt5 11404	. . 3 ⊢ 3 < 5
24	1, 5, 22, 23	declt 11733	. 2 ⊢ ;23 < ;25
25	3, 8, 12, 21, 24	prmlem1 16022	1 ⊢ ;23 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6794  1c1 10140   · cmul 10144  2c2 11273  3c3 11274  5c5 11276  7c7 11278  ;cdc 11696  ℙcprime 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-rp 12037  df-fz 12535  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-dvds 15191  df-prm 15594

This theorem is referenced by:  bpos1  25230