Theorem tanval 16053

Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tanval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem tanval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		coscl 16052	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3	2	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
4		eldifsn 4783	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
5	3, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
6		cosf 16050	. . . 4 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
7		ffn 6704	. . . 4 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
8		elpreima 7044	. . . 4 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})))
10	1, 5, 9	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
11		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝐴))
12		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (cos‘𝑥) = (cos‘𝐴))
13	11, 12	oveq12d 7411	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
14		df-tan 15997	. . 3 ⊢ tan = (𝑥 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
15		ovex 7426	. . 3 ⊢ ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6984	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
17	10, 16	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3941  {csn 4622  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672   Fn wfn 6527  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  0cc0 11092   / cdiv 11853  sincsin 15989  cosccos 15990  tanctan 15991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-cos 15996  df-tan 15997

This theorem is referenced by:  tancl  16054  tanval2  16058  retancl  16067  tanneg  16073  tan0  16076  retanhcl  16084  tanhlt1  16085  tanaddlem  16091  tanadd  16092  tanrpcl  25943  tangtx  25944  tan4thpi  25953  tanord1  25975  atandmtan  26352  atantan  26355  basellem3  26514  basellem8  26519  tan2h  36284  reccot  47451  rectan  47452  onetansqsecsq  47454