Theorem tanval 16301

Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tanval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem tanval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		coscl 16300	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3	2	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
4		eldifsn 4744	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
5	3, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
6		cosf 16298	. . . 4 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
7		ffn 6709	. . . 4 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
8		elpreima 7057	. . . 4 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})))
10	1, 5, 9	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
11		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝐴))
12		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (cos‘𝑥) = (cos‘𝐴))
13	11, 12	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
14		df-tan 16242	. . 3 ⊢ tan = (𝑥 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
15		ovex 7453	. . 3 ⊢ ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6993	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
17	10, 16	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   / cdiv 11976  sincsin 16234  cosccos 16235  tanctan 16236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-cos 16241  df-tan 16242

This theorem is used by:  tancl  16302  tanval2  16306  retancl  16315  tanneg  16321  tan0  16324  retanhcl  16332  tanhlt1  16333  tanaddlem  16339  tanadd  16340  tanrpcl  26838  tangtx  26839  tan4thpi  26848  tanord1  26870  atandmtan  27253  atantan  27256  basellem3  27415  basellem8  27420  tan2h  38628  tanhalfpim  43493  tan3rdpi  43496  reccot  51019  rectan  51020  onetansqsecsq  51022  dvsec  51024