Theorem tanval 16185

Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tanval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem tanval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		coscl 16184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
3	2	anim1i 626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
4		eldifsn 4754	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
5	3, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
6		cosf 16182	. . . 4 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
7		ffn 6707	. . . 4 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
8		elpreima 7055	. . . 4 ⊢ (cos Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})))
10	1, 5, 9	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})))
11		fveq2 6883	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝐴))
12		fveq2 6883	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (cos‘𝑥) = (cos‘𝐴))
13	11, 12	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
14		df-tan 16126	. . 3 ⊢ tan = (𝑥 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
15		ovex 7445	. . 3 ⊢ ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6991	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (◡cos “ (ℂ ∖ {0})) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
17	10, 16	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   / cdiv 11872  sincsin 16118  cosccos 16119  tanctan 16120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-cos 16125  df-tan 16126

This theorem is referenced by:  tancl  16186  tanval2  16190  retancl  16199  tanneg  16205  tan0  16208  retanhcl  16216  tanhlt1  16217  tanaddlem  16223  tanadd  16224  tanrpcl  26647  tangtx  26648  tan4thpi  26657  tan4thpiOLD  26658  tanord1  26680  atandmtan  27063  atantan  27066  basellem3  27225  basellem8  27230  tan2h  38241  tanhalfpim  43088  tan3rdpi  43091  reccot  50513  rectan  50514  onetansqsecsq  50516