Theorem sincl 16072

Description: Closure of the sine function. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sincl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 16070	. 2 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
2	1	ffvelcdmi 7076	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  ℂcc 11105  sincsin 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015

This theorem is referenced by:  tancl  16075  sincld  16076  tanneg  16094  sin0  16095  efmival  16099  sinadd  16110  cosadd  16111  tanaddlem  16112  sinsub  16114  cossub  16115  subsin  16117  sinmul  16118  cosmul  16119  addcos  16120  subcos  16121  sincossq  16122  sin2t  16123  cos2t  16124  cos2tsin  16125  demoivreALT  16147  sinhalfpilem  26338  sinmpi  26362  cosmpi  26363  sinppi  26364  cosppi  26365  efimpi  26366  sinhalfpip  26367  sinhalfpim  26368  coshalfpip  26369  coshalfpim  26370  sincos6thpi  26390  abssinper  26395  asinsin  26764  atandmtan  26792  atantan  26795  sin2h  36981  tan2h  36983  dvtan  37041  dvcosax  45187  itgsinexplem1  45215  itgsinexp  45216  csccl  48043  cotcl  48044  reccsc  48049  reccot  48050  rectan  48051  onetansqsecsq  48053  cotsqcscsq  48054