Theorem sincld 16342

Description: Closure of the sine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sincld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sincld	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sincl 16338	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  ℂcc 11237  sincsin 16273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279

This theorem is used by:  retanhcl  16371  tanhlt1  16372  tanadd  16379  addsin  16382  sincossq  16388  sinkpi  26907  coseq1  26910  efif1olem4  26930  heron  27223  sin2h  38801  dvtan  38856  sineq0ALT  46179  sinmulcos  47148  dvcosre  47195  dvasinbx  47203  dvcosax  47209  itgsin0pilem1  47233  ibliccsinexp  47234  iblioosinexp  47236  itgsinexplem1  47237  itgsinexp  47238  itgcoscmulx  47252  itgsincmulx  47257  wallispilem2  47349  dirker2re  47375  dirkerdenne0  47376  dirkerper  47379  dirkertrigeqlem2  47382  dirkertrigeqlem3  47383  dirkeritg  47385  dirkercncflem2  47387  dirkercncflem4  47389  fourierdlem39  47429  fourierdlem43  47433  fourierdlem44  47434  fourierdlem56  47445  fourierdlem57  47446  fourierdlem58  47447  fourierdlem62  47451  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem73  47462  fourierdlem76  47465  fourierdlem80  47469  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  sqwvfoura  47511  sqwvfourb  47512  fouriersw  47514  sinh-conventional  51237  sinhf  51239  tanhvaltan  51248  sinhadd  51254  coshadd  51255