MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincld 15476
Description: Closure of the sine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sincld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sincld (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sincld
StepHypRef Expression
1 sincld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sincl 15472 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6351  cc 10527  sincsin 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15414  df-sin 15416
This theorem is referenced by:  retanhcl  15505  tanhlt1  15506  tanadd  15513  addsin  15516  sincossq  15522  sinkpi  25025  coseq1  25028  efif1olem4  25045  heron  25332  sin2h  34752  dvtan  34812  sineq0ALT  41139  sinmulcos  42014  dvcosre  42064  dvasinbx  42073  dvcosax  42079  itgsin0pilem1  42103  ibliccsinexp  42104  iblioosinexp  42106  itgsinexplem1  42107  itgsinexp  42108  itgcoscmulx  42122  itgsincmulx  42127  wallispilem2  42220  dirker2re  42246  dirkerdenne0  42247  dirkerper  42250  dirkertrigeqlem2  42253  dirkertrigeqlem3  42254  dirkeritg  42256  dirkercncflem2  42258  dirkercncflem4  42260  fourierdlem39  42300  fourierdlem43  42304  fourierdlem44  42305  fourierdlem56  42316  fourierdlem57  42317  fourierdlem58  42318  fourierdlem62  42322  fourierdlem68  42328  fourierdlem72  42332  fourierdlem73  42333  fourierdlem76  42336  fourierdlem80  42340  fourierdlem103  42363  fourierdlem104  42364  sqwvfoura  42382  sqwvfourb  42383  fouriersw  42385  sinh-conventional  44673
  Copyright terms: Public domain W3C validator