Theorem sincld 16078

Description: Closure of the sine function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sincld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sincld	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sincld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sincl 16074	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  ℂcc 11107  sincsin 16011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017

This theorem is referenced by:  retanhcl  16107  tanhlt1  16108  tanadd  16115  addsin  16118  sincossq  16124  sinkpi  26407  coseq1  26410  efif1olem4  26430  heron  26721  sin2h  36989  dvtan  37049  sineq0ALT  44255  sinmulcos  45134  dvcosre  45181  dvasinbx  45189  dvcosax  45195  itgsin0pilem1  45219  ibliccsinexp  45220  iblioosinexp  45222  itgsinexplem1  45223  itgsinexp  45224  itgcoscmulx  45238  itgsincmulx  45243  wallispilem2  45335  dirker2re  45361  dirkerdenne0  45362  dirkerper  45365  dirkertrigeqlem2  45368  dirkertrigeqlem3  45369  dirkeritg  45371  dirkercncflem2  45373  dirkercncflem4  45375  fourierdlem39  45415  fourierdlem43  45419  fourierdlem44  45420  fourierdlem56  45431  fourierdlem57  45432  fourierdlem58  45433  fourierdlem62  45437  fourierdlem68  45443  fourierdlem72  45447  fourierdlem73  45448  fourierdlem76  45451  fourierdlem80  45455  fourierdlem103  45478  fourierdlem104  45479  sqwvfoura  45497  sqwvfourb  45498  fouriersw  45500  sinh-conventional  48039