Theorem decpmataa0 22962

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is 0 for almost all powers. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmate.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmate.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatfsupp.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmataa0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑥   𝑀,𝑠,𝑥   𝑁,𝑠,𝑥   𝑅,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑠)   𝐶(𝑥, 𝑠)   𝑃(𝑥, 𝑠)

Proof of Theorem decpmataa0

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmate.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		decpmate.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	matrcl 22606	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
4	3	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
8		decpmate.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10	8, 1, 2, 9	pmatcoe1fsupp 22895	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
12		decpmatcl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14	8, 1, 2, 12, 13	decpmatcl 22961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
15	14	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
16	5, 6	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
17	12	matring 22637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18		decpmatfsupp.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
19	13, 18	ring0cl 20382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
20	16, 17, 19	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
22	12, 13	eqmat 22618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
23	15, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
24		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
25	8, 1, 2	decpmate 22960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
26	24, 25	sylanbr 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
27	16	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
29	12, 9	mat0op 22613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
30	18, 29	eqtrid 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
31	28, 30	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 0 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
32		eqidd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖 ∧ 𝑏 = 𝑗)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
33		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
35		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
37		fvexd 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
38	31, 32, 34, 36, 37	ovmpod 7575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))
39	26, 38	eqeq12d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
40	39	2ralbidva 3230	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
41	23, 40	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
42	41	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
43	42	ralbidva 3189	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
44	43	rexbidv 3192	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
45	11, 44	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  Fincfn 8952   < clt 11261  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346  Poly₁cpl1 22374  coe₁cco1 22375   Mat cmat 22601   decompPMat cdecpmat 22956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-psr 22096  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-ply1 22379  df-coe1 22380  df-mamu 22585  df-mat 22602  df-decpmat 22957

This theorem is used by:  decpmatfsupp  22963  pmatcollpwfi  22976