MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmataa0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmataa0 22774
Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is 0 for almost all powers. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmate.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmate.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatfsupp.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmataa0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑥   𝑀,𝑠,𝑥   𝑁,𝑠,𝑥   𝑅,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem decpmataa0
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmate.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 decpmate.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2matrcl 22416 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
43simpld 494 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
54adantl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
8 decpmate.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
108, 1, 2, 9pmatcoe1fsupp 22707 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
115, 6, 7, 10syl3anc 1373 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
12 decpmatcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
148, 1, 2, 12, 13decpmatcl 22773 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
15143expa 1119 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
165, 6jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1712matring 22449 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18 decpmatfsupp.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐴)
1913, 18ring0cl 20264 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2016, 17, 193syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2212, 13eqmat 22430 . . . . . . 7 (((𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
2315, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
24 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
258, 1, 2decpmate 22772 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2624, 25sylanbr 582 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2716adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2827adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2912, 9mat0op 22425 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3018, 29eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
32 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖𝑏 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
33 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
35 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
37 fvexd 6921 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
3831, 32, 34, 36, 37ovmpod 7585 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))
3926, 38eqeq12d 2753 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
40392ralbidva 3219 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4123, 40bitrd 279 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4241imbi2d 340 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4342ralbidva 3176 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4443rexbidv 3179 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4511, 44mpbird 257 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8985   < clt 11295  0cn0 12526  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  Poly1cpl1 22178  coe1cco1 22179   Mat cmat 22411   decompPMat cdecpmat 22768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-decpmat 22769
This theorem is referenced by:  decpmatfsupp  22775  pmatcollpwfi  22788
  Copyright terms: Public domain W3C validator