MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmataa0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmataa0 22686
Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is 0 for almost all powers. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmate.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmate.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatfsupp.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmataa0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑥   𝑀,𝑠,𝑥   𝑁,𝑠,𝑥   𝑅,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem decpmataa0
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmate.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 decpmate.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2matrcl 22328 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
43simpld 493 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
54adantl 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 simpr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
8 decpmate.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2725 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
108, 1, 2, 9pmatcoe1fsupp 22619 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
115, 6, 7, 10syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
12 decpmatcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
148, 1, 2, 12, 13decpmatcl 22685 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
15143expa 1115 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
165, 6jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1712matring 22361 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18 decpmatfsupp.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐴)
1913, 18ring0cl 20205 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2016, 17, 193syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2120adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2212, 13eqmat 22342 . . . . . . 7 (((𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
2315, 21, 22syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
24 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
258, 1, 2decpmate 22684 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2624, 25sylanbr 580 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2716adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2827adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2912, 9mat0op 22337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3018, 29eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
32 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖𝑏 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
33 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
3433adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
35 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3635adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
37 fvexd 6906 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
3831, 32, 34, 36, 37ovmpod 7569 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))
3926, 38eqeq12d 2741 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
40392ralbidva 3207 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4123, 40bitrd 278 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4241imbi2d 339 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4342ralbidva 3166 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4443rexbidv 3169 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4511, 44mpbird 256 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  cfv 6542  (class class class)co 7415  cmpo 7417  Fincfn 8960   < clt 11276  0cn0 12500  Basecbs 17177  0gc0g 17418  Ringcrg 20175  Poly1cpl1 22102  coe1cco1 22103   Mat cmat 22323   decompPMat cdecpmat 22680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-psr 21844  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22105  df-ply1 22107  df-coe1 22108  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-decpmat 22681
This theorem is referenced by:  decpmatfsupp  22687  pmatcollpwfi  22700
  Copyright terms: Public domain W3C validator