Theorem decpmataa0 22712

Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is 0 for almost all powers. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmate.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
decpmate.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatfsupp.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
decpmataa0	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑥   𝑀,𝑠,𝑥   𝑁,𝑠,𝑥   𝑅,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem decpmataa0

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmate.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2		decpmate.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	matrcl 22356	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
4	3	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
8		decpmate.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10	8, 1, 2, 9	pmatcoe1fsupp 22645	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
12		decpmatcl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
14	8, 1, 2, 12, 13	decpmatcl 22711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
15	14	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
16	5, 6	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
17	12	matring 22387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18		decpmatfsupp.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
19	13, 18	ring0cl 20202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
20	16, 17, 19	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
22	12, 13	eqmat 22368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
23	15, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
24		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
25	8, 1, 2	decpmate 22710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
26	24, 25	sylanbr 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
27	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
29	12, 9	mat0op 22363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g‘𝐴) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
30	18, 29	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 0 = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (0g‘𝑅)))
32		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖 ∧ 𝑏 = 𝑗)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅))
33		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
35		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
37		fvexd 6849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
38	31, 32, 34, 36, 37	ovmpod 7510	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g‘𝑅))
39	26, 38	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
40	39	2ralbidva 3198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
41	23, 40	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
42	41	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
43	42	ralbidva 3157	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
44	43	rexbidv 3160	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
45	11, 44	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Fincfn 8883   < clt 11166  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118   Mat cmat 22351   decompPMat cdecpmat 22706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-mamu 22335  df-mat 22352  df-decpmat 22707

This theorem is referenced by:  decpmatfsupp  22713  pmatcollpwfi  22726