MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decpmataa0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decpmataa0 22261
Description: The matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of a polynomial matrix for the same power is 0 for almost all powers. (Contributed by AV, 3-Nov-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
decpmate.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
decpmate.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
decpmate.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
decpmatcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
decpmatfsupp.0 0 = (0g𝐴)
Assertion
Ref Expression
decpmataa0 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑥   𝑀,𝑠,𝑥   𝑁,𝑠,𝑥   𝑅,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem decpmataa0
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 decpmate.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
2 decpmate.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2matrcl 21903 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ V))
43simpld 495 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
54adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
6 simpl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
7 simpr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
8 decpmate.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2732 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
108, 1, 2, 9pmatcoe1fsupp 22194 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
115, 6, 7, 10syl3anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
12 decpmatcl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
13 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
148, 1, 2, 12, 13decpmatcl 22260 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
15143expa 1118 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴))
165, 6jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1712matring 21936 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
18 decpmatfsupp.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐴)
1913, 18ring0cl 20077 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2016, 17, 193syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2120adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
2212, 13eqmat 21917 . . . . . . 7 (((𝑀 decompPMat 𝑥) ∈ (Base‘𝐴) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
2315, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗)))
24 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0))
258, 1, 2decpmate 22259 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2624, 25sylanbr 582 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
2716adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
2912, 9mat0op 21912 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (0g𝐴) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3018, 29eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 0 = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (0g𝑅)))
32 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ (𝑎 = 𝑖𝑏 = 𝑗)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
33 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
35 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
37 fvexd 6903 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (0g𝑅) ∈ V)
3831, 32, 34, 36, 37ovmpod 7556 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖 0 𝑗) = (0g𝑅))
3926, 38eqeq12d 2748 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
40392ralbidva 3216 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑥)𝑗) = (𝑖 0 𝑗) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4123, 40bitrd 278 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅)))
4241imbi2d 340 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4342ralbidva 3175 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4443rexbidv 3178 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = (0g𝑅))))
4511, 44mpbird 256 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝑀 decompPMat 𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  cmpo 7407  Fincfn 8935   < clt 11244  0cn0 12468  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   Mat cmat 21898   decompPMat cdecpmat 22255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-decpmat 22256
This theorem is referenced by:  decpmatfsupp  22262  pmatcollpwfi  22275
  Copyright terms: Public domain W3C validator