Theorem smadiadetlem4 22642

Description: Lemma 4 for smadiadet 22643. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
smadiadetlem4	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑞,𝑝   𝑛,𝑊,𝑝   𝐺,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝   𝑖,𝐺,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   1 (𝑞,𝑝)   𝐺(𝑞)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑞)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)   0 (𝑞,𝑝)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞)

Proof of Theorem smadiadetlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
2		smadiadetlem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	crngmgp 20211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
4	1, 3	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ CMnd)
5		marep01ma.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		marep01ma.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7	5, 6	matrcl 22383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
10	4, 9	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin))
12		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
13		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
14	6	eleq2i 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
15	14	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
18		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	5, 18	matecl 22398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
20	12, 13, 17, 19	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
21	2, 18	mgpbas 20115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
22	20, 21	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
23	22	ralrimivva 3189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝐺))
25		crngring 20215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
26		marep01ma.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	18, 26	ring0cl 20237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	1, 25, 27	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (Base‘𝑅)
29	28, 21	eleqtri 2831	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (Base‘𝐺)
30	24, 29	jctir 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)))
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → 𝐾 ∈ 𝑁)
33		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})
34		smadiadetlem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
35		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
36		marep01ma.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
37	2, 36	ringidval 20153	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
38		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
39	34, 35, 37, 38	gsummatr01 22632	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾})) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))
40	11, 30, 32, 32, 33, 39	syl113anc 1383	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))
41	40	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))
42	41	mpteq2dva 5224	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛)))))) = (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛)))))))
43	42	oveq2d 7430	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
44		madetminlem.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
45		madetminlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
46		madetminlem.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
47		smadiadetlem.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
48		smadiadetlem.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
49	5, 6, 1, 26, 36, 34, 2, 44, 45, 46, 47, 48	smadiadetlem3 22641	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))
50	43, 49	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ (𝑛(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐾, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝‘𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑊 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑍)‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑛(𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))(𝑝‘𝑛))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3930  ifcif 4507  {csn 4608   ↦ cmpt 5207   ∘ ccom 5671  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8968  Basecbs 17230  ._rcmulr 17278  0_gc0g 17460   Σ_g cgsu 17461  SymGrpcsymg 19359  pmSgncpsgn 19480  CMndccmn 19771  mulGrpcmgp 20110  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  ℤRHomczrh 21477   Mat cmat 22378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1511  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-ot 4617  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8169  df-tpos 8234  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9385  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-word 14536  df-lsw 14584  df-concat 14592  df-s1 14617  df-substr 14662  df-pfx 14692  df-splice 14771  df-reverse 14780  df-s2 14870  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17462  df-gsum 17463  df-prds 17468  df-pws 17470  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-mhm 18770  df-submnd 18771  df-efmnd 18856  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-mulg 19060  df-subg 19115  df-ghm 19205  df-gim 19251  df-cntz 19309  df-oppg 19338  df-symg 19360  df-pmtr 19433  df-psgn 19482  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-rhm 20445  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-cnfld 21332  df-zring 21425  df-zrh 21481  df-dsmm 21719  df-frlm 21734  df-mat 22379

This theorem is referenced by:  smadiadet  22643