MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscmiddistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatscmiddistr 22397
Description: Distributive law for scalar and ring multiplication for scalar matrices expressed as multiplications of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscmide.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatscmide.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatscmide.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
scmatscmide.1 1 = (1rโ€˜๐ด)
scmatscmide.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatscmiddistr.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
scmatscmiddistr.m ร— = (.rโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
scmatscmiddistr (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))

Proof of Theorem scmatscmiddistr
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐ต)
2 scmatscmide.1 . . . . . . . 8 1 = (1rโ€˜๐ด)
3 scmatscmide.a . . . . . . . . 9 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
5 scmatscmide.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐‘…)
6 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (๐‘ DMat ๐‘…) = (๐‘ DMat ๐‘…)
73, 4, 5, 6dmatid 22384 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
82, 7eqeltrid 2832 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
98adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
101, 9jca 511 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…)))
11 scmatscmide.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
12 scmatscmide.m . . . . . 6 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
1311, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 22392 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ (๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
1410, 13syldan 590 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
15 simprr 772 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)
1615, 9jca 511 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…)))
1711, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 22392 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‡ โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
1816, 17syldan 590 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
1914, 18jca 511 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…) โˆง (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…)))
20 scmatscmiddistr.m . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐ด)
2120oveqi 7427 . . . 4 ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = ((๐‘† โˆ— 1 )(.rโ€˜๐ด)(๐‘‡ โˆ— 1 ))
223, 4, 5, 6dmatmul 22386 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…) โˆง (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 )(.rโ€˜๐ด)(๐‘‡ โˆ— 1 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )))
2321, 22eqtrid 2779 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…) โˆง (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )))
2419, 23syldan 590 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )))
25 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
26 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2725, 26, 13jca 1126 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต))
28273ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต))
29 3simpc 1148 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘))
303, 11, 5, 2, 12scmatscmide 22396 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 ))
3128, 29, 30syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 ))
3225, 26, 153jca 1126 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต))
33323ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต))
343, 11, 5, 2, 12scmatscmide 22396 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 ))
3533, 29, 34syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 ))
3631, 35oveq12d 7432 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )))
3736ifeq1d 4543 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 ) = if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 ))
3837mpoeq3dva 7491 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 )))
39 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 ) = ๐‘†)
40 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 ) = ๐‘‡)
4139, 40oveq12d 7432 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )) = (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡))
4241adantl 481 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘– = ๐‘—) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )) = (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡))
4342ifeq1da 4555 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 ) = if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))
4443mpoeq3dva 7491 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )))
45 eqidd 2728 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )))
46 eqeq12 2744 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
47 scmatscmiddistr.t . . . . . . . . . . . . 13 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4847eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . 12 (.rโ€˜๐‘…) = ยท
4948oveqi 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) = (๐‘† ยท ๐‘‡)
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) = (๐‘† ยท ๐‘‡))
5146, 50ifbieq1d 4548 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
5251adantl 481 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
53 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘)
54 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)
55 ovex 7447 . . . . . . . . . 10 (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ V
565fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ V
5755, 56ifex 4574 . . . . . . . . 9 if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ) โˆˆ V
5857a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ) โˆˆ V)
5945, 52, 53, 54, 58ovmpod 7567 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
6026, 1, 153jca 1126 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต))
6111, 47ringcl 20181 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
6325, 26, 623jca 1126 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต))
643, 11, 5, 2, 12scmatscmide 22396 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
6563, 64sylan 579 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
6659, 65eqtr4d 2770 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ))
6766ralrimivva 3195 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ))
68 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6911, 68ringcl 20181 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
7060, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
7111, 5ring0cl 20192 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7271adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7372adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7470, 73ifcld 4570 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) โˆˆ ๐ต)
75743ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) โˆˆ ๐ต)
763, 11, 4, 25, 26, 75matbas2d 22312 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
773matring 22332 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
784, 2ringidcl 20191 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8079adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8162, 80jca 511 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)))
8211, 3, 4, 12matvscl 22320 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8381, 82syldan 590 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
843, 4eqmat 22313 . . . . . 6 (((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ)))
8576, 83, 84syl2anc 583 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ)))
8667, 85mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
8744, 86eqtrd 2767 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
8838, 87eqtrd 2767 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
8924, 88eqtrd 2767 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  Vcvv 3469  ifcif 4524  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  Fincfn 8955  Basecbs 17171  .rcmulr 17225   ยท๐‘  cvsca 17228  0gc0g 17412  1rcur 20112  Ringcrg 20164   Mat cmat 22294   DMat cdmat 22377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-mamu 22273  df-mat 22295  df-dmat 22379
This theorem is referenced by:  scmatmulcl  22407  scmatmhm  22423
  Copyright terms: Public domain W3C validator