MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscmiddistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatscmiddistr 21880
Description: Distributive law for scalar and ring multiplication for scalar matrices expressed as multiplications of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscmide.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatscmide.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatscmide.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
scmatscmide.1 1 = (1rโ€˜๐ด)
scmatscmide.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatscmiddistr.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
scmatscmiddistr.m ร— = (.rโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
scmatscmiddistr (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))

Proof of Theorem scmatscmiddistr
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐ต)
2 scmatscmide.1 . . . . . . . 8 1 = (1rโ€˜๐ด)
3 scmatscmide.a . . . . . . . . 9 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
5 scmatscmide.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐‘…)
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘ DMat ๐‘…) = (๐‘ DMat ๐‘…)
73, 4, 5, 6dmatid 21867 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
82, 7eqeltrid 2838 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
98adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
101, 9jca 513 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…)))
11 scmatscmide.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
12 scmatscmide.m . . . . . 6 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
1311, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 21875 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ (๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
1410, 13syldan 592 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
15 simprr 772 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)
1615, 9jca 513 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…)))
1711, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 21875 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‡ โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
1816, 17syldan 592 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))
1914, 18jca 513 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…) โˆง (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…)))
20 scmatscmiddistr.m . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐ด)
2120oveqi 7374 . . . 4 ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = ((๐‘† โˆ— 1 )(.rโ€˜๐ด)(๐‘‡ โˆ— 1 ))
223, 4, 5, 6dmatmul 21869 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…) โˆง (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 )(.rโ€˜๐ด)(๐‘‡ โˆ— 1 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )))
2321, 22eqtrid 2785 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘† โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…) โˆง (๐‘‡ โˆ— 1 ) โˆˆ (๐‘ DMat ๐‘…))) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )))
2419, 23syldan 592 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )))
25 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
26 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2725, 26, 13jca 1129 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต))
28273ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต))
29 3simpc 1151 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘))
303, 11, 5, 2, 12scmatscmide 21879 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 ))
3128, 29, 30syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 ))
3225, 26, 153jca 1129 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต))
33323ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต))
343, 11, 5, 2, 12scmatscmide 21879 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 ))
3533, 29, 34syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—) = if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 ))
3631, 35oveq12d 7379 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)) = (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )))
3736ifeq1d 4509 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 ) = if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 ))
3837mpoeq3dva 7438 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 )))
39 iftrue 4496 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 ) = ๐‘†)
40 iftrue 4496 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 ) = ๐‘‡)
4139, 40oveq12d 7379 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )) = (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡))
4241adantl 483 . . . . . 6 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘– = ๐‘—) โ†’ (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )) = (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡))
4342ifeq1da 4521 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 ) = if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))
4443mpoeq3dva 7438 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )))
45 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )))
46 eqeq12 2750 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘– = ๐‘— โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
47 scmatscmiddistr.t . . . . . . . . . . . . 13 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4847eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 (.rโ€˜๐‘…) = ยท
4948oveqi 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) = (๐‘† ยท ๐‘‡)
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) = (๐‘† ยท ๐‘‡))
5146, 50ifbieq1d 4514 . . . . . . . . 9 ((๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
5251adantl 483 . . . . . . . 8 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โˆง (๐‘– = ๐‘ฅ โˆง ๐‘— = ๐‘ฆ)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
53 simprl 770 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘)
54 simprr 772 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)
55 ovex 7394 . . . . . . . . . 10 (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ V
565fvexi 6860 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ V
5755, 56ifex 4540 . . . . . . . . 9 if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ) โˆˆ V
5857a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ) โˆˆ V)
5945, 52, 53, 54, 58ovmpod 7511 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
6026, 1, 153jca 1129 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต))
6111, 47ringcl 19989 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
6325, 26, 623jca 1129 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต))
643, 11, 5, 2, 12scmatscmide 21879 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
6563, 64sylan 581 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ) = if(๐‘ฅ = ๐‘ฆ, (๐‘† ยท ๐‘‡), 0 ))
6659, 65eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ))
6766ralrimivva 3194 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ))
68 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6911, 68ringcl 19989 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
7060, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡) โˆˆ ๐ต)
7111, 5ring0cl 19998 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7271adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7372adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
7470, 73ifcld 4536 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) โˆˆ ๐ต)
75743ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ) โˆˆ ๐ต)
763, 11, 4, 25, 26, 75matbas2d 21795 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
773matring 21815 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
784, 2ringidcl 19997 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8079adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8162, 80jca 513 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)))
8211, 3, 4, 12matvscl 21803 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
8381, 82syldan 592 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
843, 4eqmat 21796 . . . . . 6 (((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ)))
8576, 83, 84syl2anc 585 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ (๐‘ฅ(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 ))๐‘ฆ) = (๐‘ฅ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 )๐‘ฆ)))
8667, 85mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (๐‘†(.rโ€˜๐‘…)๐‘‡), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
8744, 86eqtrd 2773 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, (if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘†, 0 )(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘– = ๐‘—, ๐‘‡, 0 )), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
8838, 87eqtrd 2773 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐‘—, ((๐‘–(๐‘† โˆ— 1 )๐‘—)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘–(๐‘‡ โˆ— 1 )๐‘—)), 0 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
8924, 88eqtrd 2773 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘† โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘† โˆ— 1 ) ร— (๐‘‡ โˆ— 1 )) = ((๐‘† ยท ๐‘‡) โˆ— 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  ifcif 4490  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972   Mat cmat 21777   DMat cdmat 21860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-dmat 21862
This theorem is referenced by:  scmatmulcl  21890  scmatmhm  21906
  Copyright terms: Public domain W3C validator