MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscmiddistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatscmiddistr 21857
Description: Distributive law for scalar and ring multiplication for scalar matrices expressed as multiplications of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscmide.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscmide.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
scmatscmide.0 0 = (0g𝑅)
scmatscmide.1 1 = (1r𝐴)
scmatscmide.m = ( ·𝑠𝐴)
scmatscmiddistr.t · = (.r𝑅)
scmatscmiddistr.m × = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
scmatscmiddistr (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))

Proof of Theorem scmatscmiddistr
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑆𝐵)
2 scmatscmide.1 . . . . . . . 8 1 = (1r𝐴)
3 scmatscmide.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5 scmatscmide.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
6 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑁 DMat 𝑅) = (𝑁 DMat 𝑅)
73, 4, 5, 6dmatid 21844 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
82, 7eqeltrid 2842 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
98adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
101, 9jca 512 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
11 scmatscmide.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 scmatscmide.m . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐴)
1311, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 21852 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
1410, 13syldan 591 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
15 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑇𝐵)
1615, 9jca 512 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑇𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
1711, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 21852 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑇𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
1816, 17syldan 591 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
1914, 18jca 512 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
20 scmatscmiddistr.m . . . . 5 × = (.r𝐴)
2120oveqi 7370 . . . 4 ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = ((𝑆 1 )(.r𝐴)(𝑇 1 ))
223, 4, 5, 6dmatmul 21846 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → ((𝑆 1 )(.r𝐴)(𝑇 1 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )))
2321, 22eqtrid 2788 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )))
2419, 23syldan 591 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )))
25 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
26 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
2725, 26, 13jca 1128 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵))
28273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵))
29 3simpc 1150 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
303, 11, 5, 2, 12scmatscmide 21856 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑆 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 ))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑆 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 ))
3225, 26, 153jca 1128 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵))
33323ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵))
343, 11, 5, 2, 12scmatscmide 21856 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 ))
3533, 29, 34syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑇 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 ))
3631, 35oveq12d 7375 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )))
3736ifeq1d 4505 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 ))
3837mpoeq3dva 7434 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 )))
39 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 ) = 𝑆)
40 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 ) = 𝑇)
4139, 40oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )) = (𝑆(.r𝑅)𝑇))
4241adantl 482 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑖 = 𝑗) → (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )) = (𝑆(.r𝑅)𝑇))
4342ifeq1da 4517 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))
4443mpoeq3dva 7434 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )))
45 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )))
46 eqeq12 2753 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (𝑖 = 𝑗𝑥 = 𝑦))
47 scmatscmiddistr.t . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑅)
4847eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = ·
4948oveqi 7370 . . . . . . . . . . 11 (𝑆(.r𝑅)𝑇) = (𝑆 · 𝑇)
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (𝑆(.r𝑅)𝑇) = (𝑆 · 𝑇))
5146, 50ifbieq1d 4510 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
5251adantl 482 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦)) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
53 simprl 769 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → 𝑥𝑁)
54 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → 𝑦𝑁)
55 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (𝑆 · 𝑇) ∈ V
565fvexi 6856 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5755, 56ifex 4536 . . . . . . . . 9 if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ) ∈ V)
5945, 52, 53, 54, 58ovmpod 7507 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
6026, 1, 153jca 1128 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵))
6111, 47ringcl 19981 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵)
6325, 26, 623jca 1128 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵))
643, 11, 5, 2, 12scmatscmide 21856 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
6563, 64sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
6659, 65eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦))
6766ralrimivva 3197 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦))
68 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6911, 68ringcl 19981 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆(.r𝑅)𝑇) ∈ 𝐵)
7060, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆(.r𝑅)𝑇) ∈ 𝐵)
7111, 5ring0cl 19990 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
7271adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0𝐵)
7372adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 0𝐵)
7470, 73ifcld 4532 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) ∈ 𝐵)
75743ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) ∈ 𝐵)
763, 11, 4, 25, 26, 75matbas2d 21772 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) ∈ (Base‘𝐴))
773matring 21792 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
784, 2ringidcl 19989 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8079adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8162, 80jca 512 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵1 ∈ (Base‘𝐴)))
8211, 3, 4, 12matvscl 21780 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵1 ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
8381, 82syldan 591 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
843, 4eqmat 21773 . . . . . 6 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦)))
8576, 83, 84syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦)))
8667, 85mpbird 256 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
8744, 86eqtrd 2776 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
8838, 87eqtrd 2776 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
8924, 88eqtrd 2776 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  ifcif 4486  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Fincfn 8883  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964   Mat cmat 21754   DMat cdmat 21837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-dmat 21839
This theorem is referenced by:  scmatmulcl  21867  scmatmhm  21883
  Copyright terms: Public domain W3C validator