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Theorem scmatscmiddistr 20821
Description: Distributive law for scalar and ring multiplication for scalar matrices expressed as multiplications of a scalar with the identity matrix. (Contributed by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscmide.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscmide.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
scmatscmide.0 0 = (0g𝑅)
scmatscmide.1 1 = (1r𝐴)
scmatscmide.m = ( ·𝑠𝐴)
scmatscmiddistr.t · = (.r𝑅)
scmatscmiddistr.m × = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
scmatscmiddistr (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))

Proof of Theorem scmatscmiddistr
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 758 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑆𝐵)
2 scmatscmide.1 . . . . . . . 8 1 = (1r𝐴)
3 scmatscmide.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
5 scmatscmide.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
6 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (𝑁 DMat 𝑅) = (𝑁 DMat 𝑅)
73, 4, 5, 6dmatid 20808 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
82, 7syl5eqel 2871 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
98adantr 473 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
101, 9jca 504 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
11 scmatscmide.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
12 scmatscmide.m . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐴)
1311, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 20816 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
1410, 13syldan 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
15 simprr 760 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑇𝐵)
1615, 9jca 504 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑇𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
1711, 3, 4, 12, 6dmatscmcl 20816 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑇𝐵1 ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
1816, 17syldan 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))
1914, 18jca 504 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅)))
20 scmatscmiddistr.m . . . . 5 × = (.r𝐴)
2120oveqi 6989 . . . 4 ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = ((𝑆 1 )(.r𝐴)(𝑇 1 ))
223, 4, 5, 6dmatmul 20810 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → ((𝑆 1 )(.r𝐴)(𝑇 1 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )))
2321, 22syl5eq 2827 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑆 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅) ∧ (𝑇 1 ) ∈ (𝑁 DMat 𝑅))) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )))
2419, 23syldan 582 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )))
25 simpll 754 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
26 simplr 756 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
2725, 26, 13jca 1108 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵))
28273ad2ant1 1113 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵))
29 3simpc 1130 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
303, 11, 5, 2, 12scmatscmide 20820 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑆 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 ))
3128, 29, 30syl2anc 576 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑆 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 ))
3225, 26, 153jca 1108 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵))
33323ad2ant1 1113 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵))
343, 11, 5, 2, 12scmatscmide 20820 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 ))
3533, 29, 34syl2anc 576 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑇 1 )𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 ))
3631, 35oveq12d 6994 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )))
3736ifeq1d 4368 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 ))
3837mpoeq3dva 7049 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 )))
39 iftrue 4356 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 ) = 𝑆)
40 iftrue 4356 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 ) = 𝑇)
4139, 40oveq12d 6994 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )) = (𝑆(.r𝑅)𝑇))
4241adantl 474 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑖 = 𝑗) → (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )) = (𝑆(.r𝑅)𝑇))
4342ifeq1da 4380 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))
4443mpoeq3dva 7049 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )))
45 eqidd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )))
46 eqeq12 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (𝑖 = 𝑗𝑥 = 𝑦))
47 scmatscmiddistr.t . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑅)
4847eqcomi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = ·
4948oveqi 6989 . . . . . . . . . . 11 (𝑆(.r𝑅)𝑇) = (𝑆 · 𝑇)
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → (𝑆(.r𝑅)𝑇) = (𝑆 · 𝑇))
5146, 50ifbieq1d 4373 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
5251adantl 474 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝑥𝑗 = 𝑦)) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
53 simprl 758 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → 𝑥𝑁)
54 simprr 760 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → 𝑦𝑁)
55 ovex 7008 . . . . . . . . . 10 (𝑆 · 𝑇) ∈ V
565fvexi 6513 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5755, 56ifex 4398 . . . . . . . . 9 if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ) ∈ V)
5945, 52, 53, 54, 58ovmpod 7118 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
6026, 1, 153jca 1108 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵))
6111, 47ringcl 19034 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵)
6325, 26, 623jca 1108 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵))
643, 11, 5, 2, 12scmatscmide 20820 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
6563, 64sylan 572 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (𝑆 · 𝑇), 0 ))
6659, 65eqtr4d 2818 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ (𝑥𝑁𝑦𝑁)) → (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦))
6766ralrimivva 3142 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦))
68 eqid 2779 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6911, 68ringcl 19034 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵𝑇𝐵) → (𝑆(.r𝑅)𝑇) ∈ 𝐵)
7060, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑆(.r𝑅)𝑇) ∈ 𝐵)
7111, 5ring0cl 19042 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
7271adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0𝐵)
7372adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 0𝐵)
7470, 73ifcld 4395 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) ∈ 𝐵)
75743ad2ant1 1113 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ) ∈ 𝐵)
763, 11, 4, 25, 26, 75matbas2d 20736 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) ∈ (Base‘𝐴))
773matring 20756 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
784, 2ringidcl 19041 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8079adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
8162, 80jca 504 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵1 ∈ (Base‘𝐴)))
8211, 3, 4, 12matvscl 20744 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑆 · 𝑇) ∈ 𝐵1 ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
8381, 82syldan 582 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
843, 4eqmat 20737 . . . . . 6 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦)))
8576, 83, 84syl2anc 576 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ) ↔ ∀𝑥𝑁𝑦𝑁 (𝑥(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 ))𝑦) = (𝑥((𝑆 · 𝑇) 1 )𝑦)))
8667, 85mpbird 249 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (𝑆(.r𝑅)𝑇), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
8744, 86eqtrd 2815 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (if(𝑖 = 𝑗, 𝑆, 0 )(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, 𝑇, 0 )), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
8838, 87eqtrd 2815 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖(𝑆 1 )𝑗)(.r𝑅)(𝑖(𝑇 1 )𝑗)), 0 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
8924, 88eqtrd 2815 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑆𝐵𝑇𝐵)) → ((𝑆 1 ) × (𝑇 1 )) = ((𝑆 · 𝑇) 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3089  Vcvv 3416  ifcif 4350  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  Fincfn 8306  Basecbs 16339  .rcmulr 16422   ·𝑠 cvsca 16425  0gc0g 16569  1rcur 18974  Ringcrg 19020   Mat cmat 20720   DMat cdmat 20801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-dsmm 20578  df-frlm 20593  df-mamu 20697  df-mat 20721  df-dmat 20803
This theorem is referenced by:  scmatmulcl  20831  scmatmhm  20847
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