Theorem dmatmulcl 22403

Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatmulcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗))
2	1	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → ((𝑖𝑚𝑗) = 0 ↔ (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
3	2	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )))
4	3	2ralbidv 3193	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )))
5		dmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		dmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
9		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
12		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
13		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
14		dmatid.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		dmatid.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
16	5, 11, 14, 15	dmatmat 22397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
17	16	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
18	17	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
20	5, 6, 11, 12, 13, 19	matecld 22329	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
21	5, 11, 14, 15	dmatmat 22397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
25	5, 6, 11, 12, 13, 24	matecld 22329	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
26		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
27	6, 26	ringcl 20153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
28	10, 20, 25, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
29	6, 14	ring0cl 20170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33	28, 32	ifcld 4525	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
34	5, 6, 7, 8, 9, 33	matbas2d 22326	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) ∈ 𝐵)
35		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))
36		eqeq12 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑗))
37		oveq12 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑋𝑦) = (𝑖𝑋𝑗))
38		oveq12 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑌𝑦) = (𝑖𝑌𝑗))
39	37, 38	oveq12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) = ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
40	36, 39	ifbieq1d 4503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
42		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
43		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
44		ovex 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)) ∈ V
45	14	fvexi 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
46	44, 45	ifex 4529	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) ∈ V)
48	35, 41, 42, 43, 47	ovmpod 7505	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
49		ifnefalse 4490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) = 0 )
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) = 0 )
51	48, 50	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )
52	51	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
53	52	ralrimivva 3172	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
54	4, 34, 53	elrabd 3652	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) ∈ {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
55	5, 7, 14, 15	dmatmul 22400	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))
56	5, 7, 14, 15	dmatval 22395	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
57	56	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝐷 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
58	54, 55, 57	3eltr4d 2843	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3396  Vcvv 3438  ifcif 4478  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  Fincfn 8879  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  Ringcrg 20136   Mat cmat 22310   DMat cdmat 22391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-mamu 22294  df-mat 22311  df-dmat 22393

This theorem is referenced by:  dmatsrng  22404