MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmatmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmatmulcl 22357
Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0 0 = (0g𝑅)
dmatid.d 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dmatmulcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatmulcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq 7411 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗))
21eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑚 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → ((𝑖𝑚𝑗) = 0 ↔ (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
32imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → ((𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )))
432ralbidv 3212 . . 3 (𝑚 = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )))
5 dmatid.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 dmatid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
8 simpll 764 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
9 simplr 766 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
12 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑥𝑁)
13 simp3 1135 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑦𝑁)
14 dmatid.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑅)
15 dmatid.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
165, 11, 14, 15dmatmat 22351 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝐷𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
1716imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋𝐷) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
1817adantrr 714 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
205, 6, 11, 12, 13, 19matecld 22283 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
215, 11, 14, 15dmatmat 22351 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝐷𝑌 ∈ (Base‘𝐴)))
2221imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐷) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2322adantrl 713 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24233ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
255, 6, 11, 12, 13, 24matecld 22283 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
26 eqid 2726 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
276, 26ringcl 20155 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
2810, 20, 25, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
296, 14ring0cl 20166 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
3029adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
3130adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32313ad2ant1 1130 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
3328, 32ifcld 4569 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ 𝑥𝑁𝑦𝑁) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
345, 6, 7, 8, 9, 33matbas2d 22280 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) ∈ 𝐵)
35 eqidd 2727 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))
36 eqeq12 2743 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦𝑖 = 𝑗))
37 oveq12 7414 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑋𝑦) = (𝑖𝑋𝑗))
38 oveq12 7414 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑌𝑦) = (𝑖𝑌𝑗))
3937, 38oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) = ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
4036, 39ifbieq1d 4547 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
42 simplrl 774 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑖𝑁)
43 simplrr 775 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → 𝑗𝑁)
44 ovex 7438 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)) ∈ V
4514fvexi 6899 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
4644, 45ifex 4573 . . . . . . . 8 if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) ∈ V)
4835, 41, 42, 43, 47ovmpod 7556 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
49 ifnefalse 4535 . . . . . . 7 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) = 0 )
5049adantl 481 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) = 0 )
5148, 50eqtrd 2766 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )
5251ex 412 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
5352ralrimivva 3194 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖(𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
544, 34, 53elrabd 3680 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) ∈ {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
555, 7, 14, 15dmatmul 22354 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))
565, 7, 14, 15dmatval 22349 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 = {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
5756adantr 480 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → 𝐷 = {𝑚𝐵 ∣ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
5854, 55, 573eltr4d 2842 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  ifcif 4523  cfv 6537  (class class class)co 7405  cmpo 7407  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Ringcrg 20138   Mat cmat 22262   DMat cdmat 22345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-dmat 22347
This theorem is referenced by:  dmatsrng  22358
  Copyright terms: Public domain W3C validator