Theorem dmatmulcl 22420

Description: The product of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatmulcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → (𝑖𝑚𝑗) = (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗))
2	1	eqeq1d 2727	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → ((𝑖𝑚𝑗) = 0 ↔ (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
3	2	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )))
4	3	2ralbidv 3209	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 ) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )))
5		dmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		dmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
9		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
12		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
13		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝑁)
14		dmatid.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		dmatid.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
16	5, 11, 14, 15	dmatmat 22414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)))
17	16	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
18	17	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
20	5, 6, 11, 12, 13, 19	matecld 22346	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
21	5, 11, 14, 15	dmatmat 22414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴)))
22	21	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	adantrl 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
25	5, 6, 11, 12, 13, 24	matecld 22346	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
26		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
27	6, 26	ringcl 20194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥𝑌𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
28	10, 20, 25, 27	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
29	6, 14	ring0cl 20207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
30	29	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
31	30	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 0 ∈ (Base‘𝑅))
33	28, 32	ifcld 4570	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
34	5, 6, 7, 8, 9, 33	matbas2d 22343	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) ∈ 𝐵)
35		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))
36		eqeq12 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑖 = 𝑗))
37		oveq12 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑋𝑦) = (𝑖𝑋𝑗))
38		oveq12 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → (𝑥𝑌𝑦) = (𝑖𝑌𝑗))
39	37, 38	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)) = ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
40	36, 39	ifbieq1d 4548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
41	40	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑥 = 𝑖 ∧ 𝑦 = 𝑗)) → if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
42		simplrl 775	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
43		simplrr 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
44		ovex 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)) ∈ V
45	14	fvexi 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
46	44, 45	ifex 4574	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) ∈ V)
48	35, 41, 42, 43, 47	ovmpod 7570	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ))
49		ifnefalse 4536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) = 0 )
50	49	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → if(𝑖 = 𝑗, ((𝑖𝑋𝑗)(.r‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)), 0 ) = 0 )
51	48, 50	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 )
52	51	ex 411	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
53	52	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 ))𝑗) = 0 ))
54	4, 34, 53	elrabd 3676	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )) ∈ {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
55	5, 7, 14, 15	dmatmul 22417	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = (𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, ((𝑥𝑋𝑦)(.r‘𝑅)(𝑥𝑌𝑦)), 0 )))
56	5, 7, 14, 15	dmatval 22412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐷 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
57	56	adantr 479	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝐷 = {𝑚 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑚𝑗) = 0 )})
58	54, 55, 57	3eltr4d 2840	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  ifcif 4524  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Fincfn 8962  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  0_gc0g 17420  Ringcrg 20177   Mat cmat 22325   DMat cdmat 22408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mamu 22309  df-mat 22326  df-dmat 22410

This theorem is referenced by:  dmatsrng  22421