Theorem m2cpminv0 23084

Description: The inverse matrix transformation applied to the zero polynomial matrix results in the zero of the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpminv0.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpminv0.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
m2cpminv0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
m2cpminv0.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpminv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
m2cpminv0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
m2cpminv0	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem m2cpminv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		m2cpminv0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		m2cpminv0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
4		m2cpminv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘(𝑁 Mat 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(𝑁 Mat 𝑅))
7		m2cpminv0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐶)
8		m2cpminv0.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9	8	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘(𝑁 Mat 𝑃))
10	7, 9	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝑁 Mat 𝑃))
11	1, 2, 6, 10	0mat2pmat 23059	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ) = 𝑍)
12	11	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ) = 𝑍)
13	12	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ))
14	13	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )))
15	4	matring 22763	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
17	16, 3	ring0cl 20501	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
18	15, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
19		m2cpminv0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
20	19, 4, 16, 1	m2cpminvid 23076	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )) = 0 )
21	18, 20	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )) = 0 )
22	14, 21	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  Basecbs 17392  0_gc0g 17615  Ringcrg 20464  Poly₁cpl1 22500   Mat cmat 22727   matToPolyMat cmat2pmat 23027   cPolyMatToMat ccpmat2mat 23028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-ascl 22168  df-psr 22222  df-mvr 22223  df-mpl 22224  df-opsr 22226  df-psr1 22503  df-vr1 22504  df-ply1 22505  df-coe1 22506  df-mamu 22711  df-mat 22728  df-cpmat 23029  df-mat2pmat 23030  df-cpmat2mat 23031

This theorem is used by:  cpmadumatpolylem2  23205  cayhamlem4  23211  cayleyhamilton0  23212  cayleyhamiltonALT  23214