Theorem m2cpminv0 22736

Description: The inverse matrix transformation applied to the zero polynomial matrix results in the zero of the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpminv0.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpminv0.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
m2cpminv0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
m2cpminv0.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpminv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
m2cpminv0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
m2cpminv0	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem m2cpminv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		m2cpminv0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		m2cpminv0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
4		m2cpminv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘(𝑁 Mat 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(𝑁 Mat 𝑅))
7		m2cpminv0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐶)
8		m2cpminv0.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9	8	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘(𝑁 Mat 𝑃))
10	7, 9	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝑁 Mat 𝑃))
11	1, 2, 6, 10	0mat2pmat 22711	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ) = 𝑍)
12	11	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ) = 𝑍)
13	12	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ))
14	13	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )))
15	4	matring 22418	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
17	16, 3	ring0cl 20239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
19		m2cpminv0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
20	19, 4, 16, 1	m2cpminvid 22728	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )) = 0 )
21	18, 20	mpd3an3 1465	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )) = 0 )
22	14, 21	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  Poly₁cpl1 22150   Mat cmat 22382   matToPolyMat cmat2pmat 22679   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-mamu 22366  df-mat 22383  df-cpmat 22681  df-mat2pmat 22682  df-cpmat2mat 22683

This theorem is referenced by:  cpmadumatpolylem2  22857  cayhamlem4  22863  cayleyhamilton0  22864  cayleyhamiltonALT  22866