Theorem m2cpminv0 21073

Description: The inverse matrix transformation applied to the zero polynomial matrix results in the zero of the matrices over the base ring of the polynomials. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2cpminv0.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpminv0.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
m2cpminv0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
m2cpminv0.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpminv0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
m2cpminv0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
m2cpminv0	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = 0 )

Proof of Theorem m2cpminv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		m2cpminv0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		m2cpminv0.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
4		m2cpminv0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4	fveq2i 6502	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘(𝑁 Mat 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2802	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(𝑁 Mat 𝑅))
7		m2cpminv0.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐶)
8		m2cpminv0.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9	8	fveq2i 6502	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘(𝑁 Mat 𝑃))
10	7, 9	eqtri 2802	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝑁 Mat 𝑃))
11	1, 2, 6, 10	0mat2pmat 21048	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ) = 𝑍)
12	11	ancoms 451	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ) = 𝑍)
13	12	eqcomd 2784	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑍 = ((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 ))
14	13	fveq2d 6503	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )))
15	4	matring 20756	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
16		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
17	16, 3	ring0cl 19042	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝐴))
18	15, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 0 ∈ (Base‘𝐴))
19		m2cpminv0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
20	19, 4, 16, 1	m2cpminvid 21065	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )) = 0 )
21	18, 20	mpd3an3 1441	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘((𝑁 matToPolyMat 𝑅)‘ 0 )) = 0 )
22	14, 21	eqtrd 2814	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐼‘𝑍) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  Basecbs 16339  0_gc0g 16569  Ringcrg 19020  Poly₁cpl1 20048   Mat cmat 20720   matToPolyMat cmat2pmat 21016   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-ascl 19808  df-psr 19850  df-mvr 19851  df-mpl 19852  df-opsr 19854  df-psr1 20051  df-vr1 20052  df-ply1 20053  df-coe1 20054  df-dsmm 20578  df-frlm 20593  df-mamu 20697  df-mat 20721  df-cpmat 21018  df-mat2pmat 21019  df-cpmat2mat 21020

This theorem is referenced by:  cpmadumatpolylem2  21194  cayhamlem4  21200  cayleyhamilton0  21201  cayleyhamiltonALT  21203