Theorem maduf 22866

Description: Creating the adjunct of matrices is a function from the set of matrices into the set of matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
maduf	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem maduf

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maduf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		maduf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 3	matrcl 22637	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
6	5	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
9	8, 1, 3, 2	mdetf 22820	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
12	6	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
13		simp1l 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simp11l 1303	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
15		crngring 20387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	2, 16	ringidcl 20409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	2, 18	ring0cl 20411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	17, 19	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
21	14, 15, 20	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
22		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
23		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
24		simp11r 1304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 22, 23, 24	matecld 22651	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑚𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 25	ifcld 4529	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
27	1, 2, 3, 12, 13, 26	matbas2d 22648	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))) ∈ 𝐵)
28	11, 27	ffvelcdmd 7079	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)))) ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 6, 7, 28	matbas2d 22648	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))) ∈ 𝐵)
30		maduf.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	1, 8, 30, 3, 16, 18	madufval 22862	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))))
32	29, 31	fmptd 7108	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ifcif 4482  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Fincfn 8955  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  1_rcur 20323  Ringcrg 20375  CRingccrg 20376   Mat cmat 22632   maDet cmdat 22809   maAdju cmadu 22857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-word 14582  df-lsw 14631  df-concat 14639  df-s1 14666  df-substr 14712  df-pfx 14744  df-splice 14822  df-reverse 14831  df-s2 14922  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-prds 17535  df-pws 17537  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-efmnd 18981  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-gim 19389  df-cntz 19447  df-oppg 19476  df-symg 19500  df-pmtr 19572  df-psgn 19621  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-sra 21360  df-rgmod 21361  df-cnfld 21589  df-zring 21663  df-zrh 21719  df-dsmm 21948  df-frlm 21963  df-mat 22633  df-mdet 22810  df-madu 22859

This theorem is used by:  madutpos  22867  madugsum  22868  madurid  22869  madulid  22870  matinv  22902  cpmadugsumfi  23105