Theorem maduf 20814

Description: Creating the adjunct of matrices is a function from the set of matrices into the set of matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
maduf	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem maduf

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maduf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2824	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		maduf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 3	matrcl 20584	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
6	5	simpld 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
8		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
9	8, 1, 3, 2	mdetf 20768	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
10	9	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
11	10	3ad2ant1 1169	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
12	6	3ad2ant1 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
13		simp1l 1260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simp11l 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
15		crngring 18911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	2, 16	ringidcl 18921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	2, 18	ring0cl 18922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	17, 19	ifcld 4350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
21	14, 15, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
22		simp2 1173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
23		simp3 1174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
24		simp11r 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 22, 23, 24	matecld 20598	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑚𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 25	ifcld 4350	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
27	1, 2, 3, 12, 13, 26	matbas2d 20595	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))) ∈ 𝐵)
28	11, 27	ffvelrnd 6608	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)))) ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 6, 7, 28	matbas2d 20595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))) ∈ 𝐵)
30		maduf.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	1, 8, 30, 3, 16, 18	madufval 20810	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))))
32	29, 31	fmptd 6632	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3413  ifcif 4305  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ↦ cmpt2 6906  Fincfn 8221  Basecbs 16221  0_gc0g 16452  1_rcur 18854  Ringcrg 18900  CRingccrg 18901   Mat cmat 20579   maDet cmdat 20757   maAdju cmadu 20805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-xor 1640  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-ot 4405  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-sup 8616  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-word 13574  df-lsw 13622  df-concat 13630  df-s1 13655  df-substr 13700  df-pfx 13749  df-splice 13856  df-reverse 13874  df-s2 13968  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-prds 16460  df-pws 16462  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-gim 18051  df-cntz 18099  df-oppg 18125  df-symg 18147  df-pmtr 18211  df-psgn 18260  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-rnghom 19070  df-drng 19104  df-subrg 19133  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-cnfld 20106  df-zring 20178  df-zrh 20211  df-dsmm 20438  df-frlm 20453  df-mat 20580  df-mdet 20758  df-madu 20807

This theorem is referenced by:  madutpos  20815  madugsum  20816  madurid  20817  madulid  20818  matinv  20851  cpmadugsumfi  21051