Theorem maduf 21790

Description: Creating the adjunct of matrices is a function from the set of matrices into the set of matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
maduf	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)

Proof of Theorem maduf

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maduf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		maduf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 3	matrcl 21559	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
6	5	simpld 495	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
8		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
9	8, 1, 3, 2	mdetf 21744	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
11	10	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
12	6	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
13		simp1l 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
14		simp11l 1283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
15		crngring 19795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	2, 16	ringidcl 19807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
19	2, 18	ring0cl 19808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	17, 19	ifcld 4505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
21	14, 15, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
22		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
23		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
24		simp11r 1284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑚 ∈ 𝐵)
25	1, 2, 3, 22, 23, 24	matecld 21575	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑚𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 25	ifcld 4505	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
27	1, 2, 3, 12, 13, 26	matbas2d 21572	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))) ∈ 𝐵)
28	11, 27	ffvelrnd 6962	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)))) ∈ (Base‘𝑅))
29	1, 2, 3, 6, 7, 28	matbas2d 21572	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))) ∈ 𝐵)
30		maduf.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
31	1, 8, 30, 3, 16, 18	madufval 21786	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))))
32	29, 31	fmptd 6988	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ifcif 4459  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  Fincfn 8733  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784   Mat cmat 21554   maDet cmdat 21733   maAdju cmadu 21781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-reverse 14472  df-s2 14561  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-symg 18975  df-pmtr 19050  df-psgn 19099  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555  df-mdet 21734  df-madu 21783

This theorem is referenced by:  madutpos  21791  madugsum  21792  madurid  21793  madulid  21794  matinv  21826  cpmadugsumfi  22026