MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maduf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem maduf 20814
Description: Creating the adjunct of matrices is a function from the set of matrices into the set of matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
maduf (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)

Proof of Theorem maduf
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 maduf.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 maduf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
41, 3matrcl 20584 . . . . 5 (𝑚𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
54adantl 475 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
65simpld 490 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
7 simpl 476 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
8 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
98, 1, 3, 2mdetf 20768 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
109adantr 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
11103ad2ant1 1169 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑁 maDet 𝑅):𝐵⟶(Base‘𝑅))
1263ad2ant1 1169 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
13 simp1l 1260 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
14 simp11l 1389 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
15 crngring 18911 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
16 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
172, 16ringidcl 18921 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
18 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
192, 18ring0cl 18922 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2017, 19ifcld 4350 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑙 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
2114, 15, 203syl 18 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → if(𝑙 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
22 simp2 1173 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
23 simp3 1174 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
24 simp11r 1390 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑚𝐵)
251, 2, 3, 22, 23, 24matecld 20598 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑘𝑚𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
2621, 25ifcld 4350 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
271, 2, 3, 12, 13, 26matbas2d 20595 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))) ∈ 𝐵)
2811, 27ffvelrnd 6608 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑘𝑚𝑙)))) ∈ (Base‘𝑅))
291, 2, 3, 6, 7, 28matbas2d 20595 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚𝐵) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))) ∈ 𝐵)
30 maduf.j . . 3 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
311, 8, 30, 3, 16, 18madufval 20810 . 2 𝐽 = (𝑚𝐵 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑗, if(𝑙 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑘𝑚𝑙))))))
3229, 31fmptd 6632 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3413  ifcif 4305  wf 6118  cfv 6122  (class class class)co 6904  cmpt2 6906  Fincfn 8221  Basecbs 16221  0gc0g 16452  1rcur 18854  Ringcrg 18900  CRingccrg 18901   Mat cmat 20579   maDet cmdat 20757   maAdju cmadu 20805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-xor 1640  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-ot 4405  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-sup 8616  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-xnn0 11690  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-word 13574  df-lsw 13622  df-concat 13630  df-s1 13655  df-substr 13700  df-pfx 13749  df-splice 13856  df-reverse 13874  df-s2 13968  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-prds 16460  df-pws 16462  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-gim 18051  df-cntz 18099  df-oppg 18125  df-symg 18147  df-pmtr 18211  df-psgn 18260  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-rnghom 19070  df-drng 19104  df-subrg 19133  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-cnfld 20106  df-zring 20178  df-zrh 20211  df-dsmm 20438  df-frlm 20453  df-mat 20580  df-mdet 20758  df-madu 20807
This theorem is referenced by:  madutpos  20815  madugsum  20816  madurid  20817  madulid  20818  matinv  20851  cpmadugsumfi  21051
  Copyright terms: Public domain W3C validator