Theorem mdetr0 22799

Description: The determinant of a matrix with a row containing only 0's is 0. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetr0.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetr0.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetr0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetr0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetr0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetr0.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
mdetr0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
mdetr0	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋))) = 0 )

Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖, 𝑗)   𝑋(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mdetr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetr0.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetr0.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2766	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mdetr0.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		mdetr0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6		crngring 20358	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	4, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		mdetr0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	2, 8	ring0cl 20382	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
11	10	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 0 ∈ 𝐾)
12		mdetr0.x	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
13		mdetr0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑁)
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 10, 13	mdetrsca2 22798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, ( 0 (.r‘𝑅) 0 ), 𝑋))) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋)))))
15	2, 3, 8	ringlz 20409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝐾) → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
16	7, 10, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
17	16	ifeq1d 4512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑖 = 𝐼, ( 0 (.r‘𝑅) 0 ), 𝑋) = if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋))
18	17	mpoeq3dv 7502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, ( 0 (.r‘𝑅) 0 ), 𝑋)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋)))
19	18	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, ( 0 (.r‘𝑅) 0 ), 𝑋))) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋))))
20		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
21		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
22	1, 20, 21, 2	mdetf 22789	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
23	4, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
24	11, 12	ifcld 4539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋) ∈ 𝐾)
25	20, 2, 21, 5, 4, 24	matbas2d 22617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
26	23, 25	ffvelcdmd 7087	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
27	2, 3, 8	ringlz 20409	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋))) ∈ 𝐾) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋)))) = 0 )
28	7, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑅)(𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋)))) = 0 )
29	14, 19, 28	3eqtr3d 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 0 , 𝑋))) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  Fincfn 8952  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347   Mat cmat 22601   maDet cmdat 22778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-splice 14811  df-reverse 14820  df-s2 14911  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-efmnd 18959  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-symg 19471  df-pmtr 19543  df-psgn 19592  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-cnfld 21560  df-zring 21634  df-zrh 21690  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-mat 22602  df-mdet 22779

This theorem is used by:  mdet0  22800  madugsum  22837  matunitlindflem1  38308