Theorem marep01ma 22625

Description: Replacing a row of a square matrix by a row with 0's and a 1 results in a square matrix of the same dimension. (Contributed by AV, 30-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
marep01ma	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐵   𝑘,𝑀,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑅,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑙)   1 (𝑘,𝑙)   𝐻(𝑘,𝑙)   𝐼(𝑘,𝑙)   0 (𝑘,𝑙)

Proof of Theorem marep01ma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		marep01ma.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 3	matrcl 22377	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
6		marep01ma.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 20226	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9		marep01ma.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	2, 9	ringidcl 20246	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	6, 8, 10	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (Base‘𝑅)
12		marep01ma.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	2, 12	ring0cl 20248	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (Base‘𝑅)
15	11, 14	ifcli 4514	. . . 4 ⊢ if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
17		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
18		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
19		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ 𝐵)
20	19, 3	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
22	1, 2	matecl 22390	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
24	16, 23	ifcld 4513	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
25	1, 2, 3, 5, 7, 24	matbas2d 22388	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ifcif 4466  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  Fincfn 8893  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215   Mat cmat 22372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-mat 22373

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22626  smadiadetlem1  22627  smadiadet  22635