Theorem marep01ma 22606

Description: Replacing a row of a square matrix by a row with 0's and a 1 results in a square matrix of the same dimension. (Contributed by AV, 30-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
marep01ma	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐵   𝑘,𝑀,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑅,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑙)   1 (𝑘,𝑙)   𝐻(𝑘,𝑙)   𝐼(𝑘,𝑙)   0 (𝑘,𝑙)

Proof of Theorem marep01ma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		marep01ma.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 3	matrcl 22356	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	simpld 493	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
6		marep01ma.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 20197	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9		marep01ma.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	2, 9	ringidcl 20214	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	6, 8, 10	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (Base‘𝑅)
12		marep01ma.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	2, 12	ring0cl 20215	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (Base‘𝑅)
15	11, 14	ifcli 4577	. . . 4 ⊢ if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
17		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
18		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
19		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ 𝐵)
20	19, 3	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
22	1, 2	matecl 22371	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
24	16, 23	ifcld 4576	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
25	1, 2, 3, 5, 7, 24	matbas2d 22369	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ifcif 4530  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  Fincfn 8964  Basecbs 17183  0_gc0g 17424  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186   Mat cmat 22351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-mat 22352

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22607  smadiadetlem1  22608  smadiadet  22616