Theorem marep01ma 22570

Description: Replacing a row of a square matrix by a row with 0's and a 1 results in a square matrix of the same dimension. (Contributed by AV, 30-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
marep01ma.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
marep01ma.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
marep01ma	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑙,𝐵   𝑘,𝑀,𝑙   𝑘,𝑁,𝑙   𝑅,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑙)   1 (𝑘,𝑙)   𝐻(𝑘,𝑙)   𝐼(𝑘,𝑙)   0 (𝑘,𝑙)

Proof of Theorem marep01ma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		marep01ma.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 3	matrcl 22322	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5	4	simpld 494	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
6		marep01ma.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 20158	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9		marep01ma.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10	2, 9	ringidcl 20178	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	6, 8, 10	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (Base‘𝑅)
12		marep01ma.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	2, 12	ring0cl 20180	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (Base‘𝑅)
15	11, 14	ifcli 4518	. . . 4 ⊢ if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
17		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
18		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
19		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ 𝐵)
20	19, 3	eleqtrdi 2841	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
22	1, 2	matecl 22335	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
24	16, 23	ifcld 4517	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
25	1, 2, 3, 5, 7, 24	matbas2d 22333	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝐻, if(𝑙 = 𝐼, 1 , 0 ), (𝑘𝑀𝑙))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ifcif 4470  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  Fincfn 8864  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  1_rcur 20094  Ringcrg 20146  CRingccrg 20147   Mat cmat 22317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-mat 22318

This theorem is referenced by:  smadiadetlem0  22571  smadiadetlem1  22572  smadiadet  22580