Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1gsumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1gsumz 33326
Description: If a polynomial given as a sum of scaled monomials by factors ๐ด is the zero polynomial, then all factors ๐ด are zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1gsumz.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
ply1gsumz.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ply1gsumz.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
ply1gsumz.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ply1gsumz.f ๐น = (๐‘› โˆˆ (0..^๐‘) โ†ฆ (๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))
ply1gsumz.1 0 = (0gโ€˜๐‘…)
ply1gsumz.z ๐‘ = (0gโ€˜๐‘ƒ)
ply1gsumz.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด:(0..^๐‘)โŸถ๐ต)
ply1gsumz.s (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) = ๐‘)
Assertion
Ref Expression
ply1gsumz (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((0..^๐‘) ร— { 0 }))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘›)   ๐ต(๐‘›)   ๐น(๐‘›)   0 (๐‘›)   ๐‘(๐‘›)

Proof of Theorem ply1gsumz
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1gsumz.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด:(0..^๐‘)โŸถ๐ต)
21ffnd 6718 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด Fn (0..^๐‘))
3 ply1gsumz.r . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
4 ply1gsumz.p . . . . . . . . 9 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
54ply1ring 22175 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
6 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
7 ply1gsumz.z . . . . . . . . 9 ๐‘ = (0gโ€˜๐‘ƒ)
86, 7ring0cl 20207 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
93, 5, 83syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
10 eqid 2725 . . . . . . . 8 (coe1โ€˜๐‘) = (coe1โ€˜๐‘)
11 ply1gsumz.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
1210, 6, 4, 11coe1f 22139 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โ†’ (coe1โ€˜๐‘):โ„•0โŸถ๐ต)
139, 12syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐‘):โ„•0โŸถ๐ต)
1413ffnd 6718 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐‘) Fn โ„•0)
15 fzo0ssnn0 13745 . . . . . 6 (0..^๐‘) โІ โ„•0
1615a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0..^๐‘) โІ โ„•0)
1714, 16fnssresd 6674 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜๐‘) โ†พ (0..^๐‘)) Fn (0..^๐‘))
18 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘))
1918fvresd 6912 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((coe1โ€˜๐‘) โ†พ (0..^๐‘))โ€˜๐‘—) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘—))
20 elfzonn0 13709 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
21 ply1gsumz.s . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) = ๐‘)
2221, 9eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น))) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))
244, 6, 23, 10ply1coe1eq 22228 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))โ€˜๐‘—) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘—) โ†” (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) = ๐‘))
2524biimpar 476 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) = ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))โ€˜๐‘—) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘—))
263, 22, 9, 21, 25syl31anc 1370 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))โ€˜๐‘—) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘—))
2726r19.21bi 3239 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))โ€˜๐‘—) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘—))
2820, 27sylan2 591 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))โ€˜๐‘—) = ((coe1โ€˜๐‘)โ€˜๐‘—))
292adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ด Fn (0..^๐‘))
30 nfv 1909 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘›๐œ‘
31 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
32 ply1gsumz.f . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (๐‘› โˆˆ (0..^๐‘) โ†ฆ (๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))
3330, 31, 32fnmptd 6691 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn (0..^๐‘))
3433adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐น Fn (0..^๐‘))
35 ovexd 7451 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (0..^๐‘) โˆˆ V)
36 inidm 4213 . . . . . . . . . 10 ((0..^๐‘) โˆฉ (0..^๐‘)) = (0..^๐‘)
37 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ดโ€˜๐‘–))
38 oveq1 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘– โ†’ (๐‘›(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)) = (๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))
39 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘))
40 ovexd 7451 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
4132, 38, 39, 40fvmptd3 7023 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))
4229, 34, 35, 35, 36, 37, 41offval 7691 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น) = (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘–)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))
4342oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)) = (๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘–)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))
4443fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น))) = (coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘–)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…)))))))
4544fveq1d 6894 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))โ€˜๐‘—) = ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘–)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))โ€˜๐‘—))
46 eqid 2725 . . . . . . 7 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
47 eqid 2725 . . . . . . 7 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
483adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
49 eqid 2725 . . . . . . 7 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
50 ply1gsumz.1 . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
511adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ด:(0..^๐‘)โŸถ๐ต)
5251ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
5352ralrimiva 3136 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ต)
54 ply1gsumz.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5554adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
56 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ดโ€˜๐‘—))
574, 6, 46, 47, 48, 11, 49, 50, 53, 18, 55, 56gsummoncoe1fzo 33325 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐‘– โˆˆ (0..^๐‘) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘–)( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(๐‘–(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))(var1โ€˜๐‘…))))))โ€˜๐‘—) = (๐ดโ€˜๐‘—))
5845, 57eqtrd 2765 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘ƒ ฮฃg (๐ด โˆ˜f ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)๐น)))โ€˜๐‘—) = (๐ดโ€˜๐‘—))
5919, 28, 583eqtr2rd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘—) = (((coe1โ€˜๐‘) โ†พ (0..^๐‘))โ€˜๐‘—))
602, 17, 59eqfnfvd 7038 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((coe1โ€˜๐‘) โ†พ (0..^๐‘)))
614, 7, 50coe1z 22191 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (coe1โ€˜๐‘) = (โ„•0 ร— { 0 }))
623, 61syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐‘) = (โ„•0 ร— { 0 }))
6362reseq1d 5978 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((coe1โ€˜๐‘) โ†พ (0..^๐‘)) = ((โ„•0 ร— { 0 }) โ†พ (0..^๐‘)))
6460, 63eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((โ„•0 ร— { 0 }) โ†พ (0..^๐‘)))
65 xpssres 6017 . . 3 ((0..^๐‘) โІ โ„•0 โ†’ ((โ„•0 ร— { 0 }) โ†พ (0..^๐‘)) = ((0..^๐‘) ร— { 0 }))
6615, 65ax-mp 5 . 2 ((โ„•0 ร— { 0 }) โ†พ (0..^๐‘)) = ((0..^๐‘) ร— { 0 })
6764, 66eqtrdi 2781 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((0..^๐‘) ร— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  Vcvv 3463   โІ wss 3939  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5226   ร— cxp 5670   โ†พ cres 5674   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆ˜f cof 7680  0cc0 11138  โ„•0cn0 12502  ..^cfzo 13659  Basecbs 17179   ยท๐‘  cvsca 17236  0gc0g 17420   ฮฃg cgsu 17421  .gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  var1cv1 22103  Poly1cpl1 22104  coe1cco1 22105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110
This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33377
  Copyright terms: Public domain W3C validator