Theorem ply1gsumz 33174

Description: If a polynomial given as a sum of scaled monomials by factors 𝐴 is the zero polynomial, then all factors 𝐴 are zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1gsumz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1gsumz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1gsumz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1gsumz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1gsumz.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
ply1gsumz.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1gsumz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
ply1gsumz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
ply1gsumz.s	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ply1gsumz	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   0 (𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ply1gsumz

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1gsumz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
2	1	ffnd 6712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
3		ply1gsumz.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1gsumz.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ply1gsumz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	ring0cl 20166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
10		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑍) = (coe1‘𝑍)
11		ply1gsumz.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 6, 4, 11	coe1f 22085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
13	9, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
14	13	ffnd 6712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) Fn ℕ0)
15		fzo0ssnn0 13719	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
17	14, 16	fnssresd 6668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
19	18	fvresd 6905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
20		elfzonn0 13683	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21		ply1gsumz.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)
22	21, 9	eqeltrd 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))
24	4, 6, 23, 10	ply1coe1eq 22174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗) ↔ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍))
25	24	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
26	3, 22, 9, 21, 25	syl31anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
27	26	r19.21bi 3242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
28	20, 27	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
29	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
30		nfv 1909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
31		ovexd 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
32		ply1gsumz.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
33	30, 31, 32	fnmptd 6685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
35		ovexd 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) ∈ V)
36		inidm 4213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
37		eqidd 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
38		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
40		ovexd 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
41	32, 38, 39, 40	fvmptd3 7015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
42	29, 34, 35, 35, 36, 37, 41	offval 7676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
43	42	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = (𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
44	43	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
45	44	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗))
46		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
47		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
48	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
49		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
50		ply1gsumz.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
51	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
52	51	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
53	52	ralrimiva 3140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
54		ply1gsumz.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
55	54	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
56		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
57	4, 6, 46, 47, 48, 11, 49, 50, 53, 18, 55, 56	gsummoncoe1fzo 33173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
58	45, 57	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
59	19, 28, 58	3eqtr2rd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑗) = (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗))
60	2, 17, 59	eqfnfvd 7029	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)))
61	4, 7, 50	coe1z 22137	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
62	3, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
63	62	reseq1d 5974	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
64	60, 63	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
65		xpssres 6012	. . 3 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ ℕ0 → ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 }))
66	15, 65	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 })
67	64, 66	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667   ↾ cres 5671   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7665  0cc0 11112  ℕ₀cn0 12476  ..^cfzo 13633  Basecbs 17153   ·_𝑠 cvsca 17210  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  var₁cv1 22050  Poly₁cpl1 22051  coe₁cco1 22052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33225