Theorem ply1gsumz 34198

Description: If a polynomial given as a sum of scaled monomials by factors 𝐴 is the zero polynomial, then all factors 𝐴 are zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1gsumz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1gsumz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1gsumz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1gsumz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1gsumz.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
ply1gsumz.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1gsumz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
ply1gsumz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
ply1gsumz.s	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ply1gsumz	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   0 (𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ply1gsumz

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1gsumz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
2	1	ffnd 6729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
3		ply1gsumz.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1gsumz.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ply1gsumz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	ring0cl 20523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
9	3, 5, 8	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
10		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑍) = (coe1‘𝑍)
11		ply1gsumz.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 6, 4, 11	coe1f 22556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
13	9, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
14	13	ffnd 6729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) Fn ℕ0)
15		fzo0ssnn0 13905	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
17	14, 16	fnssresd 6682	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
19	18	fvresd 6925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
20		elfzonn0 13866	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21		ply1gsumz.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)
22	21, 9	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))
24	4, 6, 23, 10	ply1coe1eq 22645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗) ↔ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍))
25	24	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
26	3, 22, 9, 21, 25	syl31anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
27	26	r19.21bi 3258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
28	20, 27	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
29	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
30		nfv 1949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
31		ovexd 7475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
32		ply1gsumz.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
33	30, 31, 32	fnmptd 6699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
35		ovexd 7475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) ∈ V)
36		inidm 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
37		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
38		oveq1 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
39		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
40		ovexd 7475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
41	32, 38, 39, 40	fvmptd3 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
42	29, 34, 35, 35, 36, 37, 41	offval 7723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
43	42	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = (𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
44	43	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
45	44	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗))
46		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
47		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
48	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
49		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
50		ply1gsumz.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
51	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
52	51	ffvelcdmda 7105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
53	52	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
54		ply1gsumz.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
55	54	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
56		fveq2 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
57	4, 6, 46, 47, 48, 11, 49, 50, 53, 18, 55, 56	gsummoncoe1fzo 34196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
58	45, 57	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
59	19, 28, 58	3eqtr2rd 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑗) = (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗))
60	2, 17, 59	eqfnfvd 7052	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)))
61	4, 7, 50	coe1z 22609	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
62	3, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
63	62	reseq1d 5979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
64	60, 63	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
65		xpssres 6018	. . 3 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ ℕ0 → ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 }))
66	15, 65	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 })
67	64, 66	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ↾ cres 5657   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∘_f cof 7712  0cc0 11224  ℕ₀cn0 12630  ..^cfzo 13812  Basecbs 17413   ·_𝑠 cvsca 17458  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  Ringcrg 20486  var₁cv1 22521  Poly₁cpl1 22522  coe₁cco1 22523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528

This theorem is used by:  ply1degltdimlem  34321