Theorem ply1gsumz 34050

Description: If a polynomial given as a sum of scaled monomials by factors 𝐴 is the zero polynomial, then all factors 𝐴 are zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1gsumz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1gsumz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1gsumz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1gsumz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1gsumz.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
ply1gsumz.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1gsumz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
ply1gsumz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
ply1gsumz.s	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ply1gsumz	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   0 (𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ply1gsumz

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1gsumz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
2	1	ffnd 6699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
3		ply1gsumz.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1gsumz.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ply1gsumz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	ring0cl 20443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
9	3, 5, 8	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑍) = (coe1‘𝑍)
11		ply1gsumz.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 6, 4, 11	coe1f 22476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
13	9, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
14	13	ffnd 6699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) Fn ℕ0)
15		fzo0ssnn0 13835	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
17	14, 16	fnssresd 6652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
19	18	fvresd 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
20		elfzonn0 13796	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21		ply1gsumz.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)
22	21, 9	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))
24	4, 6, 23, 10	ply1coe1eq 22565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗) ↔ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍))
25	24	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
26	3, 22, 9, 21, 25	syl31anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
27	26	r19.21bi 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
28	20, 27	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
29	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
30		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
31		ovexd 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
32		ply1gsumz.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
33	30, 31, 32	fnmptd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
35		ovexd 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) ∈ V)
36		inidm 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
37		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
38		oveq1 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
39		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
40		ovexd 7444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
41	32, 38, 39, 40	fvmptd3 7006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
42	29, 34, 35, 35, 36, 37, 41	offval 7686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
43	42	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = (𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
44	43	fveq2d 6878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
45	44	fveq1d 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗))
46		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
47		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
48	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
49		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
50		ply1gsumz.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
51	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
52	51	ffvelcdmda 7073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
53	52	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
54		ply1gsumz.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
55	54	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
56		fveq2 6874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
57	4, 6, 46, 47, 48, 11, 49, 50, 53, 18, 55, 56	gsummoncoe1fzo 34048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
58	45, 57	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
59	19, 28, 58	3eqtr2rd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑗) = (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗))
60	2, 17, 59	eqfnfvd 7021	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)))
61	4, 7, 50	coe1z 22529	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
62	3, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
63	62	reseq1d 5966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
64	60, 63	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
65		xpssres 6006	. . 3 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ ℕ0 → ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 }))
66	15, 65	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 })
67	64, 66	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5646   ↾ cres 5650   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7675  0cc0 11157  ℕ₀cn0 12561  ..^cfzo 13742  Basecbs 17334   ·_𝑠 cvsca 17379  0_gc0g 17557   Σ_g cgsu 17558  ._gcmg 19224  mulGrpcmgp 20307  Ringcrg 20406  var₁cv1 22441  Poly₁cpl1 22442  coe₁cco1 22443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-srg 20360  df-ring 20408  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-psr 22164  df-mvr 22165  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-psr1 22445  df-vr1 22446  df-ply1 22447  df-coe1 22448

This theorem is used by:  ply1degltdimlem  34173