Theorem ply1gsumz 33656

Description: If a polynomial given as a sum of scaled monomials by factors 𝐴 is the zero polynomial, then all factors 𝐴 are zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1gsumz.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1gsumz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ply1gsumz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1gsumz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1gsumz.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
ply1gsumz.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1gsumz.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
ply1gsumz.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
ply1gsumz.s	⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ply1gsumz	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐹(𝑛)   0 (𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ply1gsumz

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1gsumz.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
2	1	ffnd 6667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
3		ply1gsumz.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		ply1gsumz.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1ring 22208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
6		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7		ply1gsumz.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
8	6, 7	ring0cl 20245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
9	3, 5, 8	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑃))
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑍) = (coe1‘𝑍)
11		ply1gsumz.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12	10, 6, 4, 11	coe1f 22172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
13	9, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍):ℕ0⟶𝐵)
14	13	ffnd 6667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) Fn ℕ0)
15		fzo0ssnn0 13698	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ ℕ0)
17	14, 16	fnssresd 6620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
19	18	fvresd 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
20		elfzonn0 13659	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21		ply1gsumz.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍)
22	21, 9	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))
24	4, 6, 23, 10	ply1coe1eq 22262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) → (∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗) ↔ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍))
25	24	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑃)) ∧ (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = 𝑍) → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
26	3, 22, 9, 21, 25	syl31anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
27	26	r19.21bi 3230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
28	20, 27	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘𝑍)‘𝑗))
29	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 Fn (0..^𝑁))
30		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
31		ovexd 7399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
32		ply1gsumz.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
33	30, 31, 32	fnmptd 6637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 Fn (0..^𝑁))
35		ovexd 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (0..^𝑁) ∈ V)
36		inidm 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁)
37		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
38		oveq1 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
40		ovexd 7399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ V)
41	32, 38, 39, 40	fvmptd3 6969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹‘𝑖) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
42	29, 34, 35, 35, 36, 37, 41	offval 7637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
43	42	oveq2d 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)) = (𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))
44	43	fveq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))))
45	44	fveq1d 6840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗))
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
47		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
48	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
49		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
50		ply1gsumz.1	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
51	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴:(0..^𝑁)⟶𝐵)
52	51	ffvelcdmda 7034	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
53	52	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝐴‘𝑖) ∈ 𝐵)
54		ply1gsumz.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
55	54	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
56		fveq2 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑗))
57	4, 6, 46, 47, 48, 11, 49, 50, 53, 18, 55, 56	gsummoncoe1fzo 33654	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
58	45, 57	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝐴 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑃)𝐹)))‘𝑗) = (𝐴‘𝑗))
59	19, 28, 58	3eqtr2rd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴‘𝑗) = (((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁))‘𝑗))
60	2, 17, 59	eqfnfvd 6984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)))
61	4, 7, 50	coe1z 22225	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
62	3, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝑍) = (ℕ0 × { 0 }))
63	62	reseq1d 5941	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝑍) ↾ (0..^𝑁)) = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
64	60, 63	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)))
65		xpssres 5981	. . 3 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ ℕ0 → ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 }))
66	15, 65	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((ℕ0 × { 0 }) ↾ (0..^𝑁)) = ((0..^𝑁) × { 0 })
67	64, 66	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑁) × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5626   ↾ cres 5630   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   ∘_f cof 7626  0cc0 11035  ℕ₀cn0 12434  ..^cfzo 13605  Basecbs 17176   ·_𝑠 cvsca 17221  0_gc0g 17399   Σ_g cgsu 17400  ._gcmg 19040  mulGrpcmgp 20118  Ringcrg 20211  var₁cv1 22136  Poly₁cpl1 22137  coe₁cco1 22138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-ofr 7629  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-hash 14290  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-hom 17241  df-cco 17242  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-prds 17407  df-pws 17409  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-mulg 19041  df-subg 19096  df-ghm 19185  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-srg 20165  df-ring 20213  df-subrng 20520  df-subrg 20544  df-lmod 20854  df-lss 20924  df-psr 21886  df-mvr 21887  df-mpl 21888  df-opsr 21890  df-psr1 22140  df-vr1 22141  df-ply1 22142  df-coe1 22143

This theorem is referenced by:  ply1degltdimlem  33763