MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw3fi1lem2 22676
Description: Lemma 2 for pmatcollpw3fi1 22677. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pmatcollpw.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pmatcollpw.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
pmatcollpw.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
pmatcollpw.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
pmatcollpw3.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pmatcollpw3.d ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1lem2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘›   ๐ต,๐‘ ,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐‘€,๐‘    ๐‘,๐‘    ๐‘…,๐‘    ๐ต,๐‘“   ๐ถ,๐‘“,๐‘›   ๐ท,๐‘“   ๐‘“,๐‘€   ๐‘“,๐‘   ๐‘…,๐‘“   ๐‘‡,๐‘“   ๐‘“,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘“   โˆ— ,๐‘“,๐‘    ๐ท,๐‘›   ๐ด,๐‘“,๐‘›,๐‘    ๐ถ,๐‘    ๐ท,๐‘    ๐‘‡,๐‘    ๐‘‹,๐‘    โ†‘ ,๐‘    โˆ— ,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘“,๐‘ )   ๐‘‡(๐‘›)   โˆ— (๐‘›)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1lem2
Dummy variables ๐‘™ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐‘”โ€˜๐‘›))
21fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))
32oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) = ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›))))
43mpteq2dv 5244 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))
54oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›))))))
65eqeq2d 2738 . . 3 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))))
76cbvrexvw 3230 . 2 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›))))))
8 crngring 20176 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
98anim2i 616 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1093adant3 1130 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
1110ad2antrr 725 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
12 simplr 768 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}))
13 simpr 484 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›))))))
14 pmatcollpw.p . . . . . 6 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
15 pmatcollpw.c . . . . . 6 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
16 pmatcollpw.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
17 pmatcollpw.m . . . . . 6 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
18 pmatcollpw.e . . . . . 6 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
19 pmatcollpw.x . . . . . 6 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
20 pmatcollpw.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
21 pmatcollpw3.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
22 pmatcollpw3.d . . . . . 6 ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
23 eqid 2727 . . . . . 6 (0gโ€˜๐ด) = (0gโ€˜๐ด)
24 eqid 2727 . . . . . 6 (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))
2514, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24pmatcollpw3fi1lem1 22675 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›))))))
2611, 12, 13, 25syl3anc 1369 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›))))))
27 1nn 12245 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
2827a1i 11 . . . . 5 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))))) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
29 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (๐‘  = 1 โ†’ (0...๐‘ ) = (0...1))
3029oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐‘  = 1 โ†’ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ )) = (๐ท โ†‘m (0...1)))
3129mpteq1d 5237 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 1 โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))
3231oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (๐‘  = 1 โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
3332eqeq2d 2738 . . . . . . 7 (๐‘  = 1 โ†’ (๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3430, 33rexeqbidv 3338 . . . . . 6 (๐‘  = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3534adantl 481 . . . . 5 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))))) โˆง ๐‘  = 1) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
36 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ ๐‘”:{0}โŸถ๐ท)
37 c0ex 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ V
3837snid 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ {0}
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†’ 0 โˆˆ {0})
40 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘”:{0}โŸถ๐ท โˆง 0 โˆˆ {0}) โ†’ (๐‘”โ€˜0) โˆˆ ๐ท)
4139, 40sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘”:{0}โŸถ๐ท โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ (๐‘”โ€˜0) โˆˆ ๐ท)
4241ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘”:{0}โŸถ๐ท โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†’ (๐‘”โ€˜0) โˆˆ ๐ท))
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0}) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†’ (๐‘”โ€˜0) โˆˆ ๐ท))
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†’ (๐‘”โ€˜0) โˆˆ ๐ท))
4544imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ (๐‘”โ€˜0) โˆˆ ๐ท)
4621matring 22332 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
478, 46sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
48473adant3 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
4922, 23ring0cl 20192 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ท)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ท)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ (0gโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ท)
5245, 51ifcld 4570 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...1)) โ†’ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ท)
5352fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))):(0...1)โŸถ๐ท)
5422fvexi 6905 . . . . . . . . . . 11 ๐ท โˆˆ V
55 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (0...1) โˆˆ V
5654, 55pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ V โˆง (0...1) โˆˆ V)
57 elmapg 8849 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ V โˆง (0...1) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1)) โ†” (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))):(0...1)โŸถ๐ท))
5856, 57mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ ((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1)) โ†” (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))):(0...1)โŸถ๐ท))
5953, 58mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1)))
6059adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1)))
61 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = ((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›))
6261fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)) = (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))
6362oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))) = ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›))))
6463mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))))
6564oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›))))))
6665eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (๐‘“ = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))))))
6766adantl 481 . . . . . . 7 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โˆง ๐‘“ = (๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))) โ†’ (๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))))))
6860, 67rspcedv 3600 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ (๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
6968imp 406 . . . . 5 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))))) โ†’ โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...1))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
7028, 35, 69rspcedvd 3609 . . . 4 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...1) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜((๐‘™ โˆˆ (0...1) โ†ฆ if(๐‘™ = 0, (๐‘”โ€˜0), (0gโ€˜๐ด)))โ€˜๐‘›)))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
7126, 70mpdan 686 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})) โˆง ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›)))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
7271rexlimdva2 3152 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘”โ€˜๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
737, 72biimtrid 241 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065  Vcvv 3469  ifcif 4524  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5225  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โ†‘m cmap 8836  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131  โ„•cn 12234  ...cfz 13508  Basecbs 17171   ยท๐‘  cvsca 17228  0gc0g 17412   ฮฃg cgsu 17413  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083   Mat cmat 22294   matToPolyMat cmat2pmat 22593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-mamu 22273  df-mat 22295  df-mat2pmat 22596
This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi1  22677
  Copyright terms: Public domain W3C validator