Theorem coe1tmfv2 22149

Description: Zero coefficient of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmfv2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmfv2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmfv2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmfv2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
coe1tmfv2.q	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmfv2	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = 0 )

Proof of Theorem coe1tmfv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tmfv2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1tmfv2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
3		coe1tmfv2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		coe1tm.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		coe1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		coe1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		coe1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		coe1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		coe1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
10		coe1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	coe1tm 22147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
13	12	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐹))
14		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
15		eqeq1 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝐹 = 𝐷))
16	15	ifbid 4546	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ) = if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
17		coe1tmfv2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
18	5, 4	ring0cl 20166	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
20	2, 19	ifcld 4569	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ) ∈ 𝐾)
21	14, 16, 17, 20	fvmptd3 7015	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐹) = if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
22		coe1tmfv2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐹)
23	22	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐷)
24	23	neneqd 2939	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 = 𝐷)
25	24	iffalsed 4534	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ) = 0 )
26	13, 21, 25	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17153   ·_𝑠 cvsca 17210  0_gc0g 17394  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  var₁cv1 22050  Poly₁cpl1 22051  coe₁cco1 22052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057

This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  22150  coe1tmmul  22151  deg1tmle  26008