Theorem coe1tmfv2 22253

Description: Zero coefficient of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmfv2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmfv2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmfv2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmfv2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
coe1tmfv2.q	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmfv2	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = 0 )

Proof of Theorem coe1tmfv2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tmfv2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1tmfv2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
3		coe1tmfv2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		coe1tm.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		coe1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		coe1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		coe1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		coe1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
9		coe1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
10		coe1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	coe1tm 22251	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
13	12	fveq1d 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐹))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
15		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑥 = 𝐷 ↔ 𝐹 = 𝐷))
16	15	ifbid 4491	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ) = if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
17		coe1tmfv2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
18	5, 4	ring0cl 20242	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
20	2, 19	ifcld 4514	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ) ∈ 𝐾)
21	14, 16, 17, 20	fvmptd3 6966	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐹) = if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
22		coe1tmfv2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐹)
23	22	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐷)
24	23	neneqd 2938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 = 𝐷)
25	24	iffalsed 4478	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ) = 0 )
26	13, 21, 25	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐹) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173   ·_𝑠 cvsca 17218  0_gc0g 17396  ._gcmg 19037  mulGrpcmgp 20115  Ringcrg 20208  var₁cv1 22152  Poly₁cpl1 22153  coe₁cco1 22154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-psr1 22156  df-vr1 22157  df-ply1 22158  df-coe1 22159

This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  22254  coe1tmmul  22255  deg1tmle  26096  cos9thpiminply  33951