MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmfv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmfv2 20045
Description: Zero coefficient of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0g𝑅)
coe1tm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1tm.x 𝑋 = (var1𝑅)
coe1tm.m · = ( ·𝑠𝑃)
coe1tm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e = (.g𝑁)
coe1tmfv2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1tmfv2.c (𝜑𝐶𝐾)
coe1tmfv2.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
coe1tmfv2.f (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
coe1tmfv2.q (𝜑𝐷𝐹)
Assertion
Ref Expression
coe1tmfv2 (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐹) = 0 )

Proof of Theorem coe1tmfv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmfv2.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 coe1tmfv2.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
3 coe1tmfv2.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
4 coe1tm.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
5 coe1tm.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 coe1tm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
7 coe1tm.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
8 coe1tm.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑃)
9 coe1tm.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
10 coe1tm.e . . . . 5 = (.g𝑁)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tm 20043 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
121, 2, 3, 11syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
1312fveq1d 6450 . 2 (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐹) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐹))
14 eqid 2778 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
15 eqeq1 2782 . . . 4 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥 = 𝐷𝐹 = 𝐷))
1615ifbid 4329 . . 3 (𝑥 = 𝐹 → if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ) = if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
17 coe1tmfv2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
185, 4ring0cl 18960 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑0𝐾)
202, 19ifcld 4352 . . 3 (𝜑 → if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ) ∈ 𝐾)
2114, 16, 17, 20fvmptd3 6566 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))‘𝐹) = if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
22 coe1tmfv2.q . . . . 5 (𝜑𝐷𝐹)
2322necomd 3024 . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
2423neneqd 2974 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 = 𝐷)
2524iffalsed 4318 . 2 (𝜑 → if(𝐹 = 𝐷, 𝐶, 0 ) = 0 )
2613, 21, 253eqtrd 2818 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  ifcif 4307  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cn0 11646  Basecbs 16259   ·𝑠 cvsca 16346  0gc0g 16490  .gcmg 17931  mulGrpcmgp 18880  Ringcrg 18938  var1cv1 19946  Poly1cpl1 19947  coe1cco1 19948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-hash 13440  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-tset 16361  df-ple 16362  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-mulg 17932  df-subg 17979  df-ghm 18046  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-subrg 19174  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-psr 19757  df-mvr 19758  df-mpl 19759  df-opsr 19761  df-psr1 19950  df-vr1 19951  df-ply1 19952  df-coe1 19953
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2  20046  coe1tmmul  20047  deg1tmle  24318
  Copyright terms: Public domain W3C validator