MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1elcpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1elcpmat 22450
Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmatsrngpmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
1elcpmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2ringidcl 20158 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
43ancli 548 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
65ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7 eqid 2731 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 cpmatsrngpmat.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10 eqid 2731 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
111, 7, 8, 9, 10cply1coe0 22056 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
13 iftrue 4534 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))
1413fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
1514fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛))
1615eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1716ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1912, 18mpbird 257 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
201, 7ring0cl 20159 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2120ancli 548 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
2221adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
231, 7, 8, 9, 10cply1coe0 22056 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2524ad2antrl 725 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
26 iffalse 4537 . . . . . . . . . . 11 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2827fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
2928fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛))
3029eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3130ralbidv 3176 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3225, 31mpbird 257 . . . . 5 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3319, 32pm2.61ian 809 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3433ralrimivva 3199 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
35 cpmatsrngpmat.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
39 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
40 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (1r𝐶) = (1r𝐶)
418, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40pmat1ovscd 22435 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(1r𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
4241fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))))
4342fveq1d 6893 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛))
4443eqeq1d 2733 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4544ralbidv 3176 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
46452ralbidva 3215 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4734, 46mpbird 257 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
488, 35pmatring 22427 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5049, 40ringidcl 20158 . . . 4 (𝐶 ∈ Ring → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
5148, 50syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52 cpmatsrngpmat.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
5352, 8, 35, 49cpmatel 22446 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5451, 53mpd3an3 1461 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5547, 54mpbird 257 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  ifcif 4528  cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8945  cn 12219  Basecbs 17151  0gc0g 17392  1rcur 20079  Ringcrg 20131  algSccascl 21630  Poly1cpl1 21933  coe1cco1 21934   Mat cmat 22140   ConstPolyMat ccpmat 22438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-mulg 18991  df-subg 19043  df-ghm 19132  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-dsmm 21510  df-frlm 21525  df-ascl 21633  df-psr 21685  df-mvr 21686  df-mpl 21687  df-opsr 21689  df-psr1 21936  df-vr1 21937  df-ply1 21938  df-coe1 21939  df-mamu 22119  df-mat 22141  df-cpmat 22441
This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  22455  cpmatsrgpmat  22456
  Copyright terms: Public domain W3C validator