Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1elcpmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1elcpmat 21416
 Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmatsrngpmat.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmatsrngpmat.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
Assertion
Ref Expression
1elcpmat ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2759 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2ringidcl 19390 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
43ancli 553 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
54adantl 486 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
65ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7 eqid 2759 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
8 cpmatsrngpmat.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
9 eqid 2759 . . . . . . . 8 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10 eqid 2759 . . . . . . . 8 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
111, 7, 8, 9, 10cply1coe0 21024 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
13 iftrue 4427 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))
1413fveq2d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅))))
1514fveq1d 6661 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛))
1615eqeq1d 2761 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1716ralbidv 3127 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1817adantr 485 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
1912, 18mpbird 260 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
201, 7ring0cl 19391 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2120ancli 553 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
2221adantl 486 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
231, 7, 8, 9, 10cply1coe0 21024 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
2524ad2antrl 728 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅))
26 iffalse 4430 . . . . . . . . . . 11 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2726adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
2827fveq2d 6663 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
2928fveq1d 6661 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛))
3029eqeq1d 2761 . . . . . . 7 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3130ralbidv 3127 . . . . . 6 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑛) = (0g𝑅)))
3225, 31mpbird 260 . . . . 5 ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3319, 32pm2.61ian 812 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
3433ralrimivva 3121 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅))
35 cpmatsrngpmat.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
39 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
40 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (1r𝐶) = (1r𝐶)
418, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40pmat1ovscd 21401 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(1r𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
4241fveq2d 6663 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))))
4342fveq1d 6661 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛))
4443eqeq1d 2761 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4544ralbidv 3127 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
46452ralbidva 3128 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))‘𝑛) = (0g𝑅)))
4734, 46mpbird 260 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅))
488, 35pmatring 21393 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49 eqid 2759 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5049, 40ringidcl 19390 . . . 4 (𝐶 ∈ Ring → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
5148, 50syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52 cpmatsrngpmat.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
5352, 8, 35, 49cpmatel 21412 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5451, 53mpd3an3 1460 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g𝑅)))
5547, 54mpbird 260 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐶) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ifcif 4421  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℕcn 11675  Basecbs 16542  0gc0g 16772  1rcur 19320  Ringcrg 19366  algSccascl 20618  Poly1cpl1 20902  coe1cco1 20903   Mat cmat 21108   ConstPolyMat ccpmat 21404 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-ofr 7407  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-sup 8940  df-oi 9008  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-hash 13742  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-hom 16648  df-cco 16649  df-0g 16774  df-gsum 16775  df-prds 16780  df-pws 16782  df-mre 16916  df-mrc 16917  df-acs 16919  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-mhm 18023  df-submnd 18024  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-sbg 18175  df-mulg 18293  df-subg 18344  df-ghm 18424  df-cntz 18515  df-cmn 18976  df-abl 18977  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368  df-subrg 19602  df-lmod 19705  df-lss 19773  df-sra 20013  df-rgmod 20014  df-dsmm 20498  df-frlm 20513  df-ascl 20621  df-psr 20672  df-mvr 20673  df-mpl 20674  df-opsr 20676  df-psr1 20905  df-vr1 20906  df-ply1 20907  df-coe1 20908  df-mamu 21087  df-mat 21109  df-cpmat 21407 This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  21421  cpmatsrgpmat  21422
 Copyright terms: Public domain W3C validator