Theorem 1elcpmat 23039

Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
1elcpmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4	3	ancli 558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
5	4	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
6	5	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		cpmatsrngpmat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 22625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
12	6, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
13		iftrue 4487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
14	13	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
15	14	fveq1d 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛))
16	15	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
17	16	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
19	12, 18	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
20	1, 7	ring0cl 20502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	ancli 558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
23	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 22625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
25	24	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
26		iffalse 4490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
28	27	fveq2d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
29	28	fveq1d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛))
30	29	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
31	30	ralbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
32	25, 31	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
33	19, 32	pm2.61ian 824	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
34	33	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
35		cpmatsrngpmat.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
39		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
40		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
41	8, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40	pmat1ovscd 23024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
42	41	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))))
43	42	fveq1d 6888	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛))
44	43	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
45	44	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
46	45	2ralbidva 3224	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
47	34, 46	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
48	8, 35	pmatring 23016	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
50	49, 40	ringidcl 20500	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
51	48, 50	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
53	52, 8, 35, 49	cpmatel 23035	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
54	51, 53	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
55	47, 54	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ifcif 4481  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  ℕcn 12339  Basecbs 17393  0_gc0g 17616  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  algSccascl 22166  Poly₁cpl1 22501  coe₁cco1 22502   Mat cmat 22728   ConstPolyMat ccpmat 23027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-dsmm 22044  df-frlm 22059  df-ascl 22169  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225  df-opsr 22227  df-psr1 22504  df-vr1 22505  df-ply1 22506  df-coe1 22507  df-mamu 22712  df-mat 22729  df-cpmat 23030

This theorem is used by:  cpmatsubgpmat  23044  cpmatsrgpmat  23045