Theorem 1elcpmat 21416

Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
1elcpmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4	3	ancli 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
5	4	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
6	5	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		cpmatsrngpmat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 21024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
12	6, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
13		iftrue 4427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
14	13	fveq2d 6663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
15	14	fveq1d 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛))
16	15	eqeq1d 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
17	16	ralbidv 3127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
19	12, 18	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
20	1, 7	ring0cl 19391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	ancli 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
23	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 21024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
25	24	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
26		iffalse 4430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
28	27	fveq2d 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
29	28	fveq1d 6661	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛))
30	29	eqeq1d 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
31	30	ralbidv 3127	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
32	25, 31	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
33	19, 32	pm2.61ian 812	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
34	33	ralrimivva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
35		cpmatsrngpmat.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
39		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
40		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
41	8, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40	pmat1ovscd 21401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
42	41	fveq2d 6663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))))
43	42	fveq1d 6661	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛))
44	43	eqeq1d 2761	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
45	44	ralbidv 3127	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
46	45	2ralbidva 3128	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
47	34, 46	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
48	8, 35	pmatring 21393	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
50	49, 40	ringidcl 19390	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
51	48, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
53	52, 8, 35, 49	cpmatel 21412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
54	51, 53	mpd3an3 1460	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
55	47, 54	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ifcif 4421  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℕcn 11675  Basecbs 16542  0_gc0g 16772  1_rcur 19320  Ringcrg 19366  algSccascl 20618  Poly₁cpl1 20902  coe₁cco1 20903   Mat cmat 21108   ConstPolyMat ccpmat 21404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-ofr 7407  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-sup 8940  df-oi 9008  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-hash 13742  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-hom 16648  df-cco 16649  df-0g 16774  df-gsum 16775  df-prds 16780  df-pws 16782  df-mre 16916  df-mrc 16917  df-acs 16919  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-mhm 18023  df-submnd 18024  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-sbg 18175  df-mulg 18293  df-subg 18344  df-ghm 18424  df-cntz 18515  df-cmn 18976  df-abl 18977  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368  df-subrg 19602  df-lmod 19705  df-lss 19773  df-sra 20013  df-rgmod 20014  df-dsmm 20498  df-frlm 20513  df-ascl 20621  df-psr 20672  df-mvr 20673  df-mpl 20674  df-opsr 20676  df-psr1 20905  df-vr1 20906  df-ply1 20907  df-coe1 20908  df-mamu 21087  df-mat 21109  df-cpmat 21407

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  21421  cpmatsrgpmat  21422