Theorem 1elcpmat 21772

Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
1elcpmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4	3	ancli 548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
6	5	ad2antrl 724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		cpmatsrngpmat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 21380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
12	6, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
13		iftrue 4462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
14	13	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
15	14	fveq1d 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛))
16	15	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
17	16	ralbidv 3120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
19	12, 18	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
20	1, 7	ring0cl 19723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	ancli 548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
23	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 21380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
25	24	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
26		iffalse 4465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
28	27	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
29	28	fveq1d 6758	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛))
30	29	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
31	30	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
32	25, 31	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
33	19, 32	pm2.61ian 808	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
34	33	ralrimivva 3114	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
35		cpmatsrngpmat.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
39		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
40		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
41	8, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40	pmat1ovscd 21757	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
42	41	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))))
43	42	fveq1d 6758	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛))
44	43	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
45	44	ralbidv 3120	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
46	45	2ralbidva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
47	34, 46	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
48	8, 35	pmatring 21749	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
50	49, 40	ringidcl 19722	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
51	48, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
53	52, 8, 35, 49	cpmatel 21768	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
54	51, 53	mpd3an3 1460	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
55	47, 54	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ifcif 4456  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℕcn 11903  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  algSccascl 20969  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259   Mat cmat 21464   ConstPolyMat ccpmat 21760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-cpmat 21763

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  21777  cpmatsrgpmat  21778