Theorem 1elcpmat 22064

Description: The identity of the ring of all polynomial matrices over the ring 𝑅 is a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmatsrngpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmatsrngpmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
1elcpmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 1elcpmat

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4	3	ancli 549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
6	5	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
7		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8		cpmatsrngpmat.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
11	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 21670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
12	6, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
13		iftrue 4492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
14	13	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))))
15	14	fveq1d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛))
16	15	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
17	16	ralbidv 3174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
19	12, 18	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
20	1, 7	ring0cl 19990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	ancli 549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
23	1, 7, 8, 9, 10	cply1coe0 21670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
25	24	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
26		iffalse 4495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
28	27	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))) = (coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
29	28	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛))
30	29	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
31	30	ralbidv 3174	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
32	25, 31	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑖 = 𝑗 ∧ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
33	19, 32	pm2.61ian 810	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
34	33	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
35		cpmatsrngpmat.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
36		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
37		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
39		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
40		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
41	8, 35, 10, 7, 2, 36, 37, 38, 39, 40	pmat1ovscd 22049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(1r‘𝐶)𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
42	41	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗)) = (coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))))
43	42	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛))
44	43	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
45	44	ralbidv 3174	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
46	45	2ralbidva 3210	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘if(𝑖 = 𝑗, ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)), ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
47	34, 46	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅))
48	8, 35	pmatring 22041	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
49		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
50	49, 40	ringidcl 19989	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
51	48, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶))
52		cpmatsrngpmat.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
53	52, 8, 35, 49	cpmatel 22060	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐶) ∈ (Base‘𝐶)) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
54	51, 53	mpd3an3 1462	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝐶) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∀𝑛 ∈ ℕ ((coe1‘(𝑖(1r‘𝐶)𝑗))‘𝑛) = (0g‘𝑅)))
55	47, 54	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐶) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ifcif 4486  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℕcn 12153  Basecbs 17083  0_gc0g 17321  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  algSccascl 21258  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   Mat cmat 21754   ConstPolyMat ccpmat 22052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-cpmat 22055

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  22069  cpmatsrgpmat  22070